算法笔记-递归之爬楼梯问题

问题描述：

熊孩子Davis家有一个楼梯，这个楼梯总有n级台阶，Davis每次只能爬1、2或者3阶，他有几种不同的爬法？

 Sample:

 ***** Input:
 ***** 3
 ***** Output:
 ***** 4


 ***** Input:
 ***** 7
 ***** Output:
 ***** 44

我们可以这样思考这个问题：假如有n阶，那么最后一步爬到n阶的方法有：从n-1阶爬1阶，从n-2阶爬2阶，从n-3阶爬3阶，则可将其演化公式 step(n) = step(n-1) + step(n-2) + step(n-3)

直接使用斐波那契数列来解决：

- (NSInteger)stepPermsWithStaircaseNumbers(NSInteger)staircaseNumbers{
     if (staircaseNumbers == 1) { 
      return 1; 
       } else if(staircaseNumbers == 2) { 
      return 2; 
       } else if (staircaseNumbers == 3) {
      return 4; 
       } else { 
        return [self stepPermsWithStaircaseNumbers:staircaseNumbers-1] + [self
   stepPermsWithStaircaseNumbers:staircaseNumbers-2] + [self
   stepPermsWithStaircaseNumbers:staircaseNumbers-3]; 
   }
 }

在用斐波那契数列时，如果当n变大时（比如输入50，将会很久才能得到结果，甚至程序崩溃），计算效率会非常低。

优化方案：在斐波那契数列算法中，其实有大量的计算是重复的，导致程序会非常慢，我们要做的就是记录下这些数值，从小往大算，每个只计算一次。

- (NSInteger)optimizationStepPermsWithStaircaseNumbers:(NSInteger)staircaseNumbers {
    if (staircaseNumbers == 1) {
        return 1;
    } else if (staircaseNumbers == 2) {
        return 2;
    } else if (staircaseNumbers == 3) {
        return 4;
    } else {
        NSInteger value = 0;
        NSInteger value1 = 1;
        NSInteger value2 = 2;
        NSInteger value3 = 4;
        for (NSInteger i = staircaseNumbers - 3; i <= staircaseNumbers; i++) {
            value = value1 + value2 + value3;
            value1 = value2;
            value2 = value3;
            value3 = value;
        }

        return value;
    }
}

优化方案中也可以借助数组或者字典来记录这些数值，我这边就直接粗暴的使用变量了，感觉会更直观一些。