Anderson《空气动力学基础》5th读书笔记 第0记——白金汉PI定理

量纲分析：白金汉PI定理

    在空气动力学中，飞机的空气动力主要由自由来流的密度ρ∞，自由来流数V∞，翼弦长度c，自由来流的粘性系数μ∞以及音速a∞，所以假设我们可以推导出，空气动力大致满足以下这个式子：R = f (ρ∞,V∞,c,μ∞,a∞)。也就是 F(ρ∞,V∞,c,μ∞,a∞,R) = 0。然而不幸的是，对于这个看着就头大的式子，我们需要通过大量的实验来得出他们的关系， 这是项十分庞大的工程。这是我们今天的主角登场了——白金汉PI定理。

    我们知道，对于带单位的式子，它的每一个组成部分的单位应该都是一致的，这条定理就是基于这个条件的。我们来看看它是如何大显神威的。在力学中，所有的物理变量都可以用质量，长度以及时间的组合来表达，也就是无论多复杂的式子，最后式子结果都得可以用这三个量纲来表示。我们先从所有变量中挑选三个参数，这三个参数必须能覆盖质量，长度和时间的量纲，也就是

                                          （a,b,c表示未知数,那个不认识的希腊字母是参数）

能够表示出质量，长度和时间的量纲来。

    对R = f (ρ∞,V∞,c,μ∞,a∞)的式子进行分解，

                                                                

PS:m是质量的量纲，l是长度量纲，t是时间的量纲。

在这里，我们选择 ρ∞，V∞，c这三个参数（不妨试试用这三个参数表示质量，长度和时间），我们得到

                                               

这里的ρ∞，V∞，c其实可以看成m，l，t，第四个参数呢就可以用前前三个参数来表示。以第一个为例，

                                     

方程左边为无量纲，所以方程右边也应该是无量纲的，我们能解出d,b,e的值，我们最终得到：

                                                         

同理，可推出 定为自由来流雷诺数Re

                       定为自由来流马赫数M

这时F(ρ∞,V∞,c,μ∞,a∞,R) = 0就可以变成了 ，这时我们发现，原先有六个参数的式子只剩下了三个，大大简化了计算。CR = f6(Re,M)，CR是空气动力系数，以下CL,CD同理。空气动力系数可用雷诺数以及马赫数表示，又因为升力以及阻力是总空气动力的分力而已，所以它们也满足CL =  f7(Re,M)，CD =  f8(Re,M)。然而在实际中，升力系数和阻力系数还与迎角有关，所以CL =  f9(Re,M,alpha)，CD =  f8(Re,M,alpha)，alpha表示迎角。当然喽，对于高超音速空气动力学，我们还要考虑热传导系数等，但基本思想还是这个。感谢白金汉同志救我们于眼瞎中            

                    JKCQW！