考虑一个排列的交换次数何时会超过下界。以题目中的\(3\ 2\ 1\)为例，在把\(3\)向后移时\(2\)被向前推了一次，在把\(1\)向前移时\(2\)又被向后推了一次。这样一来一回，就产生了无效操作。于是我们发现，一个排列是好的，当且仅当在冒泡排序的过程中，不存在某个元素同时做了两个方向的移动（这样必然产生“一来一回”的情况）。
尝试把这个观察具体化一些。考虑一个位置\(i\)，如果它前面存在一个\(>p_i\)的数，后面存在一个\(<p_i\)的数。则在冒泡排序的过程中，\(p_i\)必定是先被向后挪了一次，又被向前挪了一次（当然，也可能是先向前再向后）。也就是说，在这种情况下，\(p_i\)一定是同时做出了两个方向的移动。根据前面的讨论，此时这个排列\(p\)冒泡排序的交换次数，必然超过了下界\(\frac{1}{2}\sum|i-p_i|\)。打表可以验证，除了这种情况以外，其他的排列都能取到这个下界。于是我们得出结论：一个排列是“好”的，当且仅当它不存在一个长度\(\geq3\)的下降子序列，或者说最长下降子序列的长度\(<3\)。
继续分析这个结论的特殊性质。考虑现在我们逐位构造一个“好”的排列，现在填到位置\(i\)，前\(i-1\)位的最大值为\(mx\)。则第\(i\)位要么填任意一个\(>mx\)的数，要么填\(<mx\)的最小的数（否则就一定会出现长度为\(3\)的下降子序列）。于是想到DP。设\(dp[i][j]\)表示考虑了前\(i\)位，最大值是\(j\)时，第\(i+1\)到第\(n\)位的填数方案。这样我们可以从后往前转移，即得到：
\[ dp[i][j]=\left(\sum_{k=j+1}^{n}dp[i+1][k]\right)+dp[i+1][j]=\sum_{k=j}^{n}dp[i+1][k] \]
为什么要把DP数组定义成“第\(i\)位之后的填数方案”呢？因为这样便于我们处理字典序的问题。我们统计答案时，枚举从第\(i\)位开始，字典序第一次大于输入的排列\(q\)（前\(i-1\)位全部和\(q\)相等）。我们设\(mx_i=\max_{j=1}^{i}q_j\)，则：
\[ ans_i=\sum_{j=mx_i+1}^{n}dp[i][j]=dp[i-1][mx_i+1] \]
答案就是所有\(ans_i\)之和。
这样暴力DP是\(O(n^3)\)的，用后缀和优化可做到\(O(n^2)\)。
把\(dp[i][j]\)视作从二维平面直角坐标系上一个点\((i,j)\)走到\((n,n)\)的方案数。每步必须向右走一格，同时可以向上走若干格或不向上走。但走的过程中，必须始终保证\(i\leq j\)。考虑用总方案减去不合法的（\(i>j\)）的方案。
- 总方案数相当于求\(n-i\)个非负整数使得它们和为\(n-j\)。根据经典的插板法，可知方案数为\({n-i+n-j-1\choose n-i-1}={2n-i-j-1\choose n-i-1}\)。
- 求路线中存在\(i>j\)的方案数。首先，所有这样的路线一定经过了直线\(y=x-1\)。根据卡特兰数的套路，对于所有不合法的路线，在它们第一次经过直线\(y=x-1\)时，将它们关于直线\(y=x-1\)对称。于是，每条不合法路线唯一对应一条从\((j+1,i-1)\)出发，走向\((n,n)\)的路线（注：其中\((j+1,i-1)\)是\((i,j)\)关于\(y=x-1\)的对称点）。因此，不合法路线的数量就是从\((j+1,i-1)\)出发走向\((n,n)\)的路线数，即\({n-(j+1)+n-(i-1)-1\choose n-(j+1)-1}={2n-i-j-1\choose n-j-2}\)。
综上，可知\(dp[i][j]={2n-i-j-1\choose n-i-1}-{2n-i-j-1\choose n-j-2}\)。
按之前的方法，直接统计答案即可。
注意，如果\(q\)的前\(i\)位已经存在不合法的情况（不符合“第\(i\)位要么填一个\(>mx_{i-1}\)的数，要么填\(<mx_{i-1}\)的最小的数”这条规则），要及时break。
时间复杂度\(O(n)\)。