先将本文的参考列表如下，以示对大咖的尊敬：
作者：ojshilu 《两人取石子游戏 组合数学-博弈问题》
作者：提比-我有特殊的AC技巧 《取石子游戏【各类取石子总结】》（该文也系转载）
有一种很有意思的游戏，就是有物体若干堆，可以是火柴棍或是围棋子等等均可。两个人轮流从堆中取物体若干，规定最后取光物体者取胜。这是我国民间很古老的一个游戏，别看这游戏极其简单，却蕴含着深刻的数学原理。下面我们来分析一下要如何才能够取胜。
在讨论所有问题之前 ，我们要明白一件事，因为这是一个博弈游戏，游戏双方都希望自己胜，所以不管是先手还是后手每出一次手都会采用“最优策略”（尽量使对方输的策略）。
首先给出两个名词：“先手必胜态“和“后手必胜态“。态是状态的态。
（一）巴什博弈(Bash Game)：现有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定至少每次至少取1个，最多取m个。最后取光者胜。
分析1：显然当n=m+1（状态）时，由于一次最多只能取m个，所以无论先手拿走多少个，后手都能够一次性拿走剩余的物品（读者可自己模拟一遍）。故有结论：当n=m+1时，产生后手必胜态。
分析2：接下来，我们分析n是m+1的倍数的情况。先给出结论：当n=p*(m+1)时（p=1,2,3....n，即p为正整数），产生后手必胜态。
下面用数学归纳法证明：
假设当n=(p-1)*(m+1)时，产生后手必胜态
则当n=p*(m+1)时，因为p*(m+1)=(p-1)*(m+1)+(m+1)，无论先手怎么选，后手都可以使得先取完(p-1)*(m+1)部分（此时保持后手胜），剩下的m+1个物品，根据分析1，还是后手胜。
得证。
分析3：前面分析1和分析2都是后手胜态的结论，现在我们来讨论先手胜态的解：自然不是分析1和分析2的情况就是先手必胜态，所以有结论：当n=p*(m+1)+q时（p是正整数，q<=m），产生先手必胜态。
这里的证明，因为才疏学浅不知道怎么证明，如有哪位高人能给出证明，不胜感激！
小结：如果能将问题化解成巴什博弈，则可用上述公式进行求解。
练习1：这个游戏还可以有一种变相的玩法：两个人轮流报数，每次至少报一个，最多报十个，谁能报到100者胜。
练习2：从一堆100个石子中取石子，最后取完的胜。
（二）威佐夫博奕（Wythoff Game）：有两堆各若干个物品，甲乙两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。（这里对题目的理解有点难度，应该是从某一堆中取任意多个，或同时在两堆中取同样多个物品；取光是指所有两堆物品数都为0）
分析1：这种情况下是颇为复杂的。我们用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势。
如果甲面对（0，0），那么先手甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势（也就是上面说的必败态）。不管谁面对奇异局势，必败！反之最优策略就是让对方面对奇异局势。
前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。
为什么（0，1）（0，2）……（0，n）不是奇异局势？只剩下n个，甲取n个就先取光，就赢了。
为什么（1，1）（2，2）……（n，n）不是奇异局势？甲可以在两堆中取同样多个取光，所以甲就赢了。
为什么（1，3）（1，4）……（1,n）(n>=3)不是奇异局势？当先手在右堆取（1，2，3，4，……，n-2）个后，就让后手面对奇异局势了。
其余同理！
分析2：奇异局势的判定：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。
对于这个数字序列，设第k个奇异局势是（Ak,Bk）,k为自然数，我们发现它具有递推的规律：初始条件当k=0时为（0，0），下一个(Ak，Bk）中的Ak是前面未出现过的最小自然数，下一个Bk=Ak+k。
那么剩下一个问题Ak怎么求呢？读者自然会想到用一个数组存储已经有的自然数，也算是一种方法，其实有更好的方法。
分析3（关于求Ak）:观察每个Ak，当k=1,2,3,4,5,6,7,8时，Ak=1,3,4,6,8,9,11,12，我们会发现Ak=[k*1.61803398875]，这个1.61803398875是个什么东西？嘿嘿！著名的黄金分割数！等等，不对，黄金分割数不是2/(1+sqrt(5))=(sqrt(5)-1)/2吗，其小数约等于0.61803398875。没错只不过是黄金分割数的倒数(1+sqrt(5))/2，约等于1.61803398875。所以黄金分割数很重要，它的倒数也很重要，请读者记住。
小结：
这个奇异局势的序列的通项公式可以表示为：
Ak = [k*(1+sqrt(5.0)/2]
Bk = Ak + k
其中k=0，1，2，...,n ，方括号表示int取整函数。
有了这个通项式子，逆向的，对于某一个局势，只需要判断其A是否是黄金分割数的某个k的倍数，然后再确认B是否等于A+k即可。
（三）尼姆博奕（Nimm Game）：有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。
分析1：按递推法，首先（0，0，0）显然是奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。第二种奇异局势是（0，n，n），只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致（0，0，0）。仔细分析一下，（1，2，3）也是奇异局势，无论对手如何拿，接下来都可以变为（0，n，n）的情形。
分析2：（0，0，0）（0，n，n）（1，2，3）这三个奇异局势很有意思，它与二进制有密切关系，计算机算法里面有一种叫做按位模2加，也叫做异或的运算，C++中用符号^表示这种运算。这种运算和一般加法不同的一点是1+1=0。
先看（1，2，3）的按位模2加的结果：
1 =二进制01
2 =二进制10
3 =二进制11 ^
———————
0 =二进制00 （注意不进位）
我们用（a，b，c）表示某种局势， 任何奇异局势（a，b，c）都有a^b^c =0。
分析3：如果我们面对的是一个非奇异局势（a，b，c），要如何变为奇异局势呢？
假设 a < b< c,我们只要将 c 变为 a^b,即可,因为有如下的运算结果: a^b^(a^b)=(a^a)^(b^b)=0^0=0。要将c 变为a^b，只要从 c中减去 c-（a^b）即可。
获胜情况对先取者进行讨论：
异或结果为0，先取者必败，无获胜方法。后取者获胜；
结果不为0，先取者有获胜的取法。
小结：对于尼姆博奕（Nimm Game）我们用（a，b，c）表示某种局势， 任何奇异局势（a，b，c）都有a^b^c =0。
拓展：（Nimm Game）有k堆各n个石子，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限。取走最后石子的人获胜。
我们用（a1,a2,a3,……,an)表示某种局势，任何奇异局势都有：a1^a2^a3^a4^……^an=0
玩家的策略：
就是把面对的非奇异局势变为奇异局势留给对方。也就是从某一堆取出若干石子之后，使得每一个bit位上1的个数都变为偶数，这样的取法一般不只有一种。可以将其中一堆的石子数变为其他堆石子数的位异或运算的值（如果这个值比原来的石子数小的话）。