整数划分（递归）并输出划分的结果

整数划分（递归）并输出划分的结果

说明一下问题，什么是整数划分？

n=m1+m2+...+mi; （其中mi为正整数，并且1 <= mi <= n），则{m1,m2,...,mi}为n的一个划分。
如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超过m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);
举个例子，当n=5时我们可以获得以下这几种划分（注意，例子中m>=5）

5 = 5
   = 4 + 1
   = 3 + 2
   = 3 + 1 + 1
   = 2 + 2 + 1
   = 2 + 1 + 1 + 1
   = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

根据n和m的关系，考虑以下几种情况：

(1)当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1};

(2)当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,...,1};

(3)当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：

(a)划分中包含n的情况，只有一个即{n}；

(b)划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。因此 q(n,n) =1 + q(n,n-1);

(4)当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于q(n,n);

(5)但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：

(a)划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m，因此这情况下为q(n-m,m)

(b)划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为q(n,m-1);

因此 q(n, m) = q(n-m, m)+q(n,m-1);

综上所述：

q(n, m) = 1; (n=1 or m=1)

q(n,m) = q(n, n); (n<m)

1+ q(n, m-1); (n=m)

q(n-m,m)+q(n,m-1); (n>m)

递归算法：

代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;
int q(int n, int m) {
	if(n < 1 || m < 1) return 0;
	if(n == 1 || m == 1) return 1;
	if(n < m) return (n, n);
	if(n == m) return q(n, m-1) + 1;
	return q(n, m-1) + q(n-m, m);
}
int main() {
	cout<<q(6, 6)<<endl;
	return 0;
}

动态规划：

#include <iostream>
#define  MYDATA long long
const MYDATA MOD = 1000000007;
#define MAXNUM 1005            //最高次数  
long ww[MAXNUM * 11][MAXNUM * 11];
long dp(int n, int max);
using namespace std;
int main() {
	int n;
	int m;
	long count;
	while (1) {
		cin >> n;
		cout << dp(n, n) << endl;
	}
	return 0;
}
long dp(int n, int max) {
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= i; j++) {
			if (j == 1 || i == 1) {
				ww[i][j] = 1;
			} else {
				if (j == i)
					ww[i][j] = (ww[i][j - 1] + 1) % MOD;
				else if ((i - j) < j)
					ww[i][j] = (ww[i - j][i - j] + ww[i][j - 1]) % MOD;
				else
					ww[i][j] = (ww[i - j][j] + ww[i][j - 1]) % MOD;
			}
		}
	return ww[n][max];
}

输出结果：

#include <stdio.h>
int mark[256];
int n;
void DFS(int sum, int k, int prio) {
	if(sum > n) {
		return;
	} else if(sum == n) {
		int i;
		printf("=");
		for( i = 0; i < k-1; i++) {
			printf("%d+",mark[i]);
		}
		printf("%d\n",mark[i]);
	} else {
		for(int j = prio; j > 0; j--) {
			mark[k] = j;
			sum += j;
			DFS(sum,k+1,j);
			sum -= j;  //恢复现场
		}
	}
}
int main() {
	scanf("%d", &n);
	DFS(0, 0, n);
	return 0;
}

整数划分（递归）并输出划分的结果

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