算法作业-整数划分-递归

正整数的划分问题是将一个正整数n表示成一系列正整数之和：n=n1+n2+…+nk，其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。请编写至少三种不同的求解算法，并对所编写算法的时间效率进行测试和比较。

解法一：递归算法
考虑增加一个自变量：将最大加数n1不大于m的划分个数记作q(n,m)，可以建立q(n,m)的如下递归关系：
1，q(n,1) = 1, n≥1; 当最大加数n1不大于1时，任何正整数n只有一种划分形式，即n=1+1+…+1
2，q(n,m) = q(n,n), m≥n; 最大加数n1实际上不能大于n，因此，q(1,m) = 1
3，q(n,n) = 1 + q(n, n-1); 正整数n的划分由n1 = n的划分和n1≤n-1的划分组成

4，q(n,m)=q(n,m-1)+q(n-m,m),n>m>1; 正整数n的最大加数n1不大于m的划分由n1= m的划分和n1≤m-1 的划分组成

正整数n的划分数p(n)=q(n,n)。

算法如下：

Java代码如下：

package integer_division;

public class Integer_division_1 {

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		long startTime = System.currentTimeMillis();
		System.out.println(q(80,80));//打印80的划分种类数
		long endTime = System.currentTimeMillis();
		System.out.println("程序运行时间："+(endTime - startTime) + "ms");
	}

	public static int q(int n, int m) {
		// TODO Auto-generated method stub
		if ((n == 1)||(m == 1)) 
			return 1;
		if (n < m)
			return q(n,n);
		if (n == m)
			return q(n,m-1)+1;
		return q(n,m-1)+q(n-m,m);
	}

}

对代码进行实例测试的结果如下：（(a,b,c)中a表示正整数，b表示划分结果个数，c表示程序的运行时间，单位是毫秒）

（10，42，1）

（30，5604，1）

（50，204226，2）

（70，4087968，14）

（80，15796476，51）

（90，56634173，188）

（100，190569292，570）

（110，607163746，1873）

从程序运行结果看出递归算法的时间复杂度极高，但具体的复杂度函数是什么呢？

I don't know.