递归———整数划分问题

递归的核心是找到

1.边界条件  边界条件是递归函数的出口

2.递归方程  

以斐波拉切数列为例

边界条件是 f（0）=0  f(1)=1

递归方程是 f(n)=f(n-1)+f(n-2) 

整数划分问题的难点在于怎么找出递归方程？

构造函数q(n,m)  n代表目标数 m代表最大划分数

根据n和m的关系，考虑以下几种情况：

   (1)当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1};

   (2)当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,...,1};

   (3)当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：

      (a)划分中包含n的情况，只有一个即{n}；

      (b)划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。 因此 q(n,n) =1 + q(n,n-1);

   (4)当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于q(n,n);

   (5)但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：

       (a)划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m，因此这情况下为q(n-m,m)

       (b)划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为q(n,m-1);

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      因此 q(n, m) = q(n-m, m)+q(n,m-1);

      综上所述：

                             q(n, m) =   1;                  (n=1 or m=1)

                             q(n,m) =  q(n, n);           (n<m)

                             1+ q(n, m-1);                  (n=m)

                             q(n-m,m)+q(n,m-1);      (n>m)

public class Solution {
	public static void main(String[] args) {
		Solution test=new Solution();
		System.out.println(test.geNum(8));
	}
	public int geNum(int n)
	{
		return get(n,n);
		
	}
	public int get(int n,int m)
	{
		if(n==1||m==1)
			return 1;
		if(n<m)
			return get(n,n);
		if(n==m)
			return 1+get(n,m-1);
		else return get(n-m,m)+get(n,m-1);
	}
}

整数划分问题的引申：

纸币组合问题

给定一个数组{5,10,25,1}四种纸币 问有多少种组合成1000元的可能

public class Solution {
	public static void main(String[] args) {
		Solution test=new Solution();
		int[] arr=new int[]{5,10,25,1};
		System.out.println(test.count(25,arr));
	}
	public int count(int n,int[] arr)
	{
		if(n<0||arr==null)
			return 0;
		else
			return getsize(n, 0, arr);
	}
	public int getsize(int n,int index,int[] arr)
	{
		int size=0;//标志位 计数位
		if(index==arr.length)//递归的出口
		{
			size=(n==0?1:0);
		}
		
		else
		{
			for(int i=0;i*arr[index]<=n;i++)//for循环每种钱币的个数
			{
				size=size+getsize(n-i*arr[index], index+1, arr);//递归调用
			}
		}
		return size;
	}
}