数论函数及其变换
日常%虞大。
数论函数：定义域为正整数，值域为实数的函数。
积性函数：满足\(f(ab)=f(a)f(b)\ \ \ (a,b)=1\)的数论函数。
完全积性函数：满足\(f(ab)=f(a)f(b)\)的数论函数。
一些数论函数：
\(\varepsilon(n)\)，当n=1时为1，否则值为0。叫做单位函数。
\(d(n)\)，表示n的正因数个数，叫做因子个数函数。它是积性函数。
证明：一定把一个数素因子分解为\(p1^{q1}p2^{q2}...pl^{ql}\)，并且pi各不相同。那么\(d(n)=\Pi (q_i+1)\)。设\(n=ab,(a,b)=1\)，因此a和b也可以表示成素因子分解的形式，并且没有共同的素因子。积性性质是显然的。
\(\sigma(n)\)，表示n的正因子和，叫做因子和函数。它是积性函数。
证明：\(\sigma(n)=\Pi(\frac{p_i^{q_1+1}-1}{p_i-1})\)，积性性质也是很显然的。
\(\varphi(n)\)，表示与n互素且小于n的正整数个数。它是积性函数。
证明：前面的博文提到过。推出\(\varphi(pq)=pq-p-q-1\)就很好证明了。
\(\mu(n)=\begin{aligned} 1 && n=1 \\ 0 && 有完全平方因子 \\ (-1)^p && 是p个不同素因子积\\ \end{aligned}\)
它是积性函数。证明：
数论函数的值可以用线性筛求出。举一个筛\(φ(n)\)的栗子，其它以此类推。
对于素数p，只会筛到一次，直接令$φ(p) = p - 1 $即可。
对于一个合数n，它只会被筛到一次，只会被最小的素因子p筛到，而且此时大循环到了k，即$ n = pk\(。若此时\) p \mid k\(，说明n中含p的幂大于1。因此，\)φ(n) = φ(k) · p\(，否则，说明\) (p, k) = 1\(，从而n中含 p的幂等于1，此时由\) φ \(的积性，可得\) φ(n) = φ(k) · φ(p) = φ(k) · (p - 1)$。这样，就实现了线性筛求 φ(n) 的值。（from 虞大）