快速数论变换 NTT

FFT

有道云笔记

阶的定义

若 $a\perp m$ ，且 $m>1$ ，对于 $a^x\equiv 1(mod\ m)$ 最小的 $x$ ，我们称之为 $a$ 模 $m$ 的阶，记做 $\delta_m(a)$ 。

原根定义

若 $\delta_m(a)=\varphi(m)$ ，则称 $a$ 为模 $m$ 的一个原根。

NTT

摘自Menci的博客。

考虑一个质数 $p=qn+1$ （其中 $n$ 为 $2$ 的幂）。定义其原根 $g$ 为使得 $g ^ i(0 \leq i \leq p - 1)$ 互不相同的数。

【模板】多项式乘法

精度比FFT高

#include <cstdio>

typedef long long LL;
const int N = 2097152+5, P = 998244353, G = 3, Gi = 332748118; //G是P的原根，Gi是G的逆元

LL a[N], b[N], R[N], n, m, L;

int read() {
    int x = 0; char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9') c = getchar();
    while (c >= '0' && c <= '9') {
        x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48);
        c = getchar();
    }
    return x;
}
void swap(LL &x, LL &y) {
    x ^= y, y ^= x, x ^= y;
}
LL fast_pow(LL a, int p) {
    LL res = 1;
    for (; p; p >>= 1, a = a * a % P)
        if (p & 1) res = res * a % P;
    return res;
}
void ntt(LL *A, int f) {
    for (int i = 0; i < n; ++i) if (i < R[i]) swap(A[i], A[R[i]]);
    for (int i = 1; i < n; i <<= 1) {
        LL wn = fast_pow(f == 1 ? G : Gi, (P - 1) / (i << 1));
        for (int j = 0, r = i << 1; j < n; j += r) {
            LL w = 1;
            for (int k = 0; k < i; ++k, w = w * wn % P) {
                int x = A[j+k], y = w * A[i+j+k] % P;
                A[j+k] = (x + y) % P, A[i+j+k] = (x - y + P) % P;
            }
        }
    }
}

int main() {
    n = read(), m = read();
    for (int i = 0; i <= n; ++i) a[i] = read();
    for (int i = 0; i <= m; ++i) b[i] = read();
    m += n; for (n = 1; n <= m; n <<= 1) ++L;
    for (int i = 0; i < n; ++i) R[i] = (R[i>>1] >> 1) | ((i & 1) << (L - 1));
    ntt(a, 1); ntt(b, 1);
    for (int i = 0; i < n; ++i) a[i] = (a[i] * b[i]) % P;
    ntt(a, -1);
    LL inv = fast_pow(n, P - 2);
    for (int i = 0; i <= m; ++i) printf("%lld ", a[i] * inv % P);
    return 0;
}