LeetCode | 365. Water and Jug Problem 数学原理详细分析

Youare given two jugs with capacities x and y litres.There is an infinite amount of water supply available. You need to determinewhether it is possible to measure exactly z litresusing these two jugs.

If z litersof water is measurable, you must have z litersof water contained within oneor both buckets by the end.

Operationsallowed:

Fill any of the jugs completely with water.
Empty any of the jugs.
Pour water from one jug into another till the other jug is completely full or the first jug itself is empty.

Example1: (From the famous "Die Hard" example)

Input: x = 3, y = 5, z = 4

Output: True

Example2:

Input: x = 2, y = 6, z = 5

Output: False

Credits:
Special thanks to @vinod23 for adding this problem and creating all test cases.

这一题给你三种操作，将一个杯子装满，将一个杯子倒空，或者是用一个杯子给另外一个杯子添水，直到其中一个杯子满或者是其中一个杯子空掉

其实这一题只要保证z是x和y最大公约数的倍数并且z <= x + y就行了，下面给出证明

根据贝祖公式，设c为x和y的最大公约数，则一定存在等式c = mx+ny，m和n为整数，并且mn < 0

当z = kc，则z = kmx + kny = m2*x + n2 * y

我们这里忽略x,y谁大谁小，公式可以写成：

z = m*x - n * y，这里m,n为非负整数 x可以大于y也可以小于y

1）当x == y的时候，由于z <= x + y，两个杯子容量相等，z等于杯子容量的整数倍，一定可以得到

2）当x > y的时候，我们执行以下操作，将x装满，然后用x向y中倒水，使得y变满，然后将y清空，继续以上操作直到x倒不满y，

这个时候将x中剩余的水倒入y，然后将x填满，继续以上操作，需要注意的是，只有将y装满才把y中的水倒掉

当最后一次将y倒掉之后，这个时候设x中剩余的水为t，这个时候z = t + p*x，当p为0的时候，这个时候z已经得到了，当p为1的时候，也能得到z，p不可能大于1

3）当x < y的时候，我们执行以下操作，将x装满，然后用x向y中倒水，使得x变空，然后将x填满，继续以上操作直到x中的水比y中剩余容量多，

这个时候将用x将y装满，然后将y倒掉，然后将x中剩余的水倒入y，

继续以上操作，需要注意的是，只有将y装满才把y中的水倒掉

当最后一次将y倒掉之后，这个时候设x中剩余的水为t，这个时候z = t + p*x，当p为0的时候，这个时候z已经得到了，

当p不为0的时候，可以证明，对于任何z = t + p*x <= x + y这样的z都可以通过两个杯子的操作得到

因此证明了只要z为x和y最大公约数的倍数，并且z <= x+y，则z一定可以使用这两个杯子的一系列操作得到

这里还需要特别注意，题目中没有说明x,y,z的取值范围，这个时候应该把x,y,z当做可以取任何整数，包括0和负数

class Solution(object):
    def canMeasureWater(self, x, y, z):
        """
        :type x: int
        :type y: int
        :type z: int
        :rtype: bool
        """
        if z == 0: return True
        if x == 0 and y == 0: return False
        if z < 0 or z > x + y: return False
        if x == 0 or y == 0: b = max(x, y)
        else:
            a = x
            b = y
            c = a % b
            while c != 0:
                a, b = (b, c)
                c = a % b
        if z % b == 0: return True
        else: return False

LeetCode | 365. Water and Jug Problem 数学原理详细分析

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