【leetcode】365. 水壶问题（water-and-jug-problem）（数学）[中等]

链接

https://leetcode-cn.com/problems/water-and-jug-problem/

耗时

解题：1 h+
题解：29 min

题意

有两个容量分别为 x升 和 y升 的水壶以及无限多的水。现有一下 3 种操作：

1. 装满任意一个水壶
2. 清空任意一个水壶
3. 从一个水壶向另外一个水壶倒水，直到装满或者倒空

问能否只通过上述 3 中操作得到恰好 z升 的水，最后用以上水壶中的一或两个来盛放取得的 z升 水。

思路

模拟一下样例，再次读题，可以发现题目可以转化成如下问题：
“若 $ax+by=z(0\leq z \leq x+y)$，当 $x,y,z$ 成什么关系时， $a,b$ 一定有整数解？”

这个问题还是太抽象，多模拟几组数据，仔细观察可以发现：当 $x,y$ 互质时，可以得到 $[0, x+y]$ 之间的任意一个 $z$；而 $x,y$ 不互质时， $z$ 只能得到 $x,y$ 最大公约数的倍数。

详细说明：假设 $a,b$ 是整数，当 $x,y$ 互质时，通过调整系数 $a,b$ 一定能得到 $ax+by=1$，故而可以得到 $[0, x+y]$ 之间的任意一个数。当 $x,y$ 不互质时，通过调整系数 $a,b$ 在范围内排除 $0$ 外最小只能得到 $ax+by=gcd(x,y)$。所以当 $x,y$ 一定时，可以归结为 $ax+by$ 只能得到 $gcd(x,y)$ 的倍数（这其实是贝祖定理，孤陋寡闻了）。也就是说当 $z$ 能整除 $gcd(x,y)$ 时， $a,b$ 一定有整数解。

然而还有一些特殊情况需要处理：

1. 根据实际问题 $z > x+y$ 一定装不下
2. $z = 0$ 一定正确
3. $x=0$ 或 $y=0$ 时，只能得到 $0$ 或另一只水壶的容量的水。

AC代码

class Solution {
public:
    bool canMeasureWater(int x, int y, int z) {
        if(z > x+y) return false;
        if(z == 0) return true;
        if(x == 0 || y == 0) return z%max(x,y) == 0;
        return z%__gcd(x,y) == 0;
    }
};