朋友们、伙计们，我们又见面了，本期来给大家解读一下有关多态的知识点，如果看完之后对你有一定的启发，那么请留下你的三连，祝大家心想事成！
C 语 言 专 栏：C语言：从入门到精通
数据结构专栏：数据结构
个 人 主 页 ：stackY、
C + + 专 栏 ：C++
Linux 专 栏 ：Linux
目录
1. AVL树的概念
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：
当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
- 它的左右子树都是AVL树
- 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在
，搜索时间复杂度
2. AVL树节点的定义
在这里我们定义AVL树使用一个pair来存储数据，关于AVL树其中除了左右子树的节点指针，还需要一个记录父亲的节点指针，并且需要存储一个平衡因子。平衡因子是右子树的高度减去左子树的高度。
//AVL树节点的定义 template<class K, class V> struct AVLTreeNode { AVLTreeNode<K, V>* _left; //左子树 AVLTreeNode<K, V>* _right; //右子树 AVLTreeNode<K, V>* _parent; //父节点 pair<K, V> _kv; //存储节点数据的kv模型 int _bf; //平衡因子 // AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv) :_left(nullptr) , _right(nullptr) ,_parent(nullptr) ,_kv(kv) ,_bf(0) {} };
3. AVL树的插入
AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：
- 1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
- 2. 调整节点的平衡因子
如果插入的节点在左边，那么就需要将平衡因子--，如果插入的节点在右边，平衡因子就需要++，并且需要注意的是当平衡因子改变之后，如果为0，代表平衡，不需要其他操作，如果改变之后为1或者-1，那么同样的也需要对它祖先的平衡因子进行改变，直到它的父节点为空即可停止，如果改变之后的平衡因子为-2或者2，那么就表示出现的不平衡现象，需要进行旋转。
//插入 bool Insert(const pair<K,V>& kv) { //1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中 Node* cur = _root; Node* parent = nullptr; if (_root == nullptr) { _root = new Node(kv); retrun true; } while (cur) { if (cur->_kv.first > kv.first) { parent = cur; cur = cur->_left; } else if (cur->_kv.first < kv.first) { parent = cur; cur = cur->rigth; } else retrun false; } cur = new Node(kv); if (parent->_kv.first > kv.first) { parent->_left = cur; cur->_parent = parent; } else { parent->_right = cur; cur->_parent = parent; } //2. 调整节点的平衡因子 while (parent) { if (parent->_left == cur) //插入的节点在左边时，平衡因子-- parent->_bf--; else (parent->_right == cur) //插入的节点在右边时，平衡因子++ parent->_bf++; if (parent->_bf == 0) //判断平衡因子时候合理 break; else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1) //插入新的节点导致高度变化， //所以得依次向上去调整它们父亲的平衡因子 { cur = parent; parent = parent->_parent; } else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2) { //平衡出现差错，需要进行旋转调整 //... } else //如果平衡因子不为上述情况，那么就不能再继续了 assert(false); } return true; }
3.1 AVL树的旋转
如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：
1. 右单旋新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋
需要注意的一个点，我们不确定这棵树是不是另外一棵树的一个子树，所以还需要将parent的父亲记录下来，如果这棵树就是独立的，那么只需要将subL设置为新的根节点即可，如果是另外一棵树的子树，那么就需要将旋转完之后的树链接在它的祖先上。
首先将根节点记为parent，因为需要右旋，所以肯定是左边高往右边旋转，所以将parent的左子树记为subL，将subL的右子树记为subLR，接下来就需要需要旋转了，将parent的左指向subLR，然后将subL的右指向parent，这样子就完成了右旋。
需要注意的是在修改完各各节点的链接时，它们原来的父亲关系就需要重新设置，比如上面的图，将parent的父亲指向subL，将subLR的父亲指向parent（subLR不一定为空，所以需要判断一下再进行链接）此时只需要将各各节点的平衡因子修改即可，在右旋之后可以发现subL和parent的平衡因子都变成了0，所以直接对它们各自的平衡因子修改即可
//右单旋 void Rotate_right(Node* parent) { Node* subL = parent->_left; Node* subLR = subL->_right; Node* ppNode = parent->_parent; //旋转链接 parent->_left = subLR; if (subLR) subLR->_parent = parent; subL->_right = parent; parent->_parent = subL; //链接祖先 if (parent == _root) { _root = subL; subL->_parent = nullptr; } else { if (ppNode->_left == parent) { ppNode->_left = subL; } else { ppNode->_right = subL; } subL->_parent = ppNode; } //修改平衡因子 subL->_bf = parent->_bf = 0; }2. 左单旋
左单旋和右单旋的情况类似，只不过左单旋是右边高往左边旋转，类似的可以参考右单旋的思路。
//左单旋 void Rotate_left(Node* parent) { Node* subR = parent->_right; //右子树的节点 Node* subRL = subR->_left; // Node* ppNode = parent->_parent; //旋转->重新链接 subR->_left = parent; parent->_parent = subR; parent->_right = subRL; if (subRL) subRL->_parent = parent; //链接祖先 if (_root == parent) { _root = subR; subR->_parent = nullptr; } else { if (ppNode->_left == parent) ppNode->_left = subR; else ppNode->_right = subR; subR->_parent = ppNode; } //修改平衡因子 parent->_bf = subR->_bf = 0; }3. 先左单旋再右单旋（双旋）
左右双旋在这里依旧存在三种情况：
①插入在subLR的左边
②插入在subLR的右边
③subLR就是新插入的节点
双旋的情况可以看到是一个折线的样子，根据偏转的方向来确定首先向哪边旋转，先将根节
点记为parent，再将parent的左记为subL，将subL的右记为subLR，先以subL为根进行左单旋，然后再以parent为根进行右单旋。然后根据上述三种情况修改平衡因子。
可以根据subLR的平衡因子来修改parent、subL、subLR的平衡因子：
①如果subLR的平衡因子是-1，那么在双旋完之后，需要将parent的平衡因子修改为1，将其他两个修改为0。
②如果subLR的平衡因子是1，那么在双旋完之后，需要将subL的平衡因子修改为-1，将其他两个修改为0。
③如果subLR的平衡因子是0，那么parent、subL、subLR的平衡因子修改为0。
//左右双旋 void Rotate_left_right(Node* parent) { Node* subL = parent->-left; Node* subLR = subL->_right; //记录插入之后的平衡因子 int bf = subLR->_bf; //先左旋 Rotate_left(subL); //再右旋 Rotate_right(parent); //修改平衡因子 if (bf == 0) //本身就是新插入的节点 { subL->_bf = subLR->_bf = parent->_bf = 0; } else if (bf == -1) //左边插入 { parent->_bf = 1; subL->_bf = 0; subLR->_bf = 0; } else if (bf == 1) //右边插入 { subL->_bf = -1; parent->_bf = 0; subLR->_bf = 0; } else { assert(flase); } }4. 先右单旋再左单旋（双旋）
同样的这里也存在三种情况：
①插入在subRL的左边
②插入在subRL的右边
③subRL就是新插入的节点
右左双旋的逻辑和左右双旋的逻辑一样，可以参考上面的。
//右左双旋 void Rotate_right_left(Node* parent) { Node* subR = parent->_right; Node* subRL = subR->_left; int bf = subRL->_bf; Rotate_right(subR); Rotate_left(parent); if (bf == 0) { subR->_bf = subRL->_bf = parent->_bf = 0; } else if (bf == -1) { subR->_bf = 1; parent->_bf = 0; subRL->_bf = 0; } else if (bf == 1) { parent->_bf = -1; subR->_bf = 0; subRL->_bf = 0; } else assert(false); }
解决完插入中的旋转问题之后我们将旋转融入到插入的整个代码中：
bool Insert(const pair<K,V>& kv) { //1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中 Node* cur = _root; Node* parent = nullptr; if (_root == nullptr) { _root = new Node(kv); retrun true; } while (cur) { if (cur->_kv.first > kv.first) { parent = cur; cur = cur->_left; } else if (cur->_kv.first < kv.first) { parent = cur; cur = cur->rigth; } else retrun false; } cur = new Node(kv); if (parent->_kv.first > kv.first) { parent->_left = cur; cur->_parent = parent; } else { parent->_right = cur; cur->_parent = parent; } //2. 调整节点的平衡因子 while (parent) { if (parent->_left == cur) //插入的节点在左边时，平衡因子-- parent->_bf--; else (parent->_right == cur) //插入的节点在右边时，平衡因子++ parent->_bf++; if (parent->_bf == 0) //判断平衡因子时候合理 break; else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1) //插入新的节点导致高度变化， //所以得依次向上去调整它们父亲的平衡因子 { cur = parent; parent = parent->_parent; } else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2) { //平衡出现差错，需要进行旋转调整 if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) //左单旋情况 Rotate_left(parent); else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) //右单旋情况 Rotate_right(parent); else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1) //左右双旋情况 Rotate_left_right(parent); else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1) //右左双旋情况 Rotate_right_left(parent); // 1、旋转让这颗子树平衡了 // 2、旋转降低了这颗子树的高度，恢复到跟插入前一样的高度，所以对上一层没有影响，不用继续更新 break; } else //如果平衡因子不为上述情况，那么就不能再继续了 assert(false); } return true; }
4. AVL树的验证
AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：
- 1. 验证其为二叉搜索树
如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树
- 2. 验证其为平衡树
每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
节点的平衡因子是否计算正确
//判断是否平衡 bool IsBalance() { return _IsBalance(_root); } //计算树的高度 int _Height(Node* root) { if (root == nullptr) return 0; int leftHeight = _Height(root->_left); //左子树的高度 int rightHeight = _Height(root->_right); //右子树的高度 //返回左右子树高度较高的那一颗树+1 return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1; } bool _IsBalance(Node* root) { if (root == nullptr) return true; int leftHeight = _Height(root->_left); //左子树的高度 int rightHeight = _Height(root->_right); //右子树的高度 if (rightHeight - leftHeight != root->_bf) { cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl; return false; } //右子树-左子树高度不超过2则为AVL树 return abs(rightHeight - leftHeight) < 2 && _IsBalance(root->_left) && _IsBalance(root->_right); }
4.1 AVL树的性能
AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即
朋友们、伙计们，美好的时光总是短暂的，我们本期的的分享就到此结束，欲知后事如何，请听下回分解~，最后看完别忘了留下你们弥足珍贵的三连喔，感谢大家的支持！