C++中AVL树构建详解

AVL树的定义

平衡二叉树由前苏联两位数学家GM.Adelse-Velskil、E.M.Landis提出，因此一般也称作AVL树。
AVL树从本质上说仍是一颗二叉搜索树，只是在其的基础上添加了平衡要求，使得树的高度在每次插入元素后仍可以保持O（logn）的级别。
所谓的平衡操作指的是对于AVL树的任意结点来说，其左子树和右子树的高度差的绝对值不超过1，其中左子树的高度减去右子树的高度称为该结点的平衡因子。
例如，对于下面的三棵树，根结点的平衡因子分别是 -1、2、-2

基本操作函数

1.结构体

因为需要对每个结点计算平衡因子，所以需要在树的结构中加入一个变量height用来记录以当前结点为根节点的子树的高度

struct node{
    
    
	int data,height;//权值和高度
	node* l,*r;//左右孩子地址
};

2.获取当前结点root的高度

空树的高度为0，叶子结点高度为1

int getheight(node* root)
{
    
    
	if(root==NULL)return 0;
	else return root->height;
}

3.求平衡因子

每个结点的平衡因子是左子树高度减去右子树高度

int getbalancefactor(node* root)
{
    
    
	return gethight(root->l)-getheight(root->r);
}

4.更新结点高度

在插入结点或者旋转操作后树高会改变，所以在执行相应的操作时，需要实时的更新每个结点的高度

void updataheight(node* &root)
{
    
    
	//当前结点的高度为左右子树中较大高度+1
	root->height=max(getheight(root->l),getheight(root->r))+1;
}

旋转操作

1.左旋

完成旋转一共需要三步：
1.让B的左子树成为A的右子树
2.让A成为B的左子树
3.将根节点设定为结点B

void leftrotation(node* &root)
{
    
    
	node* temp=root->r;
	root->r=temp->l;
	temp->l=root;
	updateheight(root);
	updateheight(temp);
	root=temp;
}

2.右旋

右旋和左旋是对称的过程，从本质上来看，他们互为逆操作
相应的步骤：
1.让A的右子树成为B的左子树
2.让B成为A的右子树
3.将根节点设定为结点A

void rightrotation(node* &root)
{
    
    
	node* temp=root->l;
	root->l=temp->r;
	temp->r=root;
	updateheight(root);
	updateheight(temp);
	root=temp;
}

插入操作

每插入一个结点，一定会有结点的平衡因子发生变化，所以每插入一个结点，都需要更新一下树高，当某结点的平衡因子等于2或者-2时，以该结点为根结点的子树发生失衡，需要旋转调整。在这基础上我们还需判断其相应的子树，以确定相应的翻转操作。
下面我们先讨论平衡因子为2的情况：

对于根结点A，其平衡因子都为2，但是对于A的左子树B，可以发现左边的平衡因子为1，右边的为-1；对于这两种树型，左边的称为LL型树，右边的为LR型树

树型	调整方法
LL	对根结点root右旋
LR	先对root->l 左旋，使之变为LL型树，再对root右旋

然后看对于平衡因子为-2的情况

左边为RR型树，右边为RL型树

树型	调整方法
RR	对根结点root左旋
RL	先对root->r右旋使之转为RR型树，然后对root左旋

void insert(node* &root,int x)
{
    
    
    if(root==NULL)
    {
    
    
        root=new node;
        root->data=x;
        root->height=1;//叶子结点高度为1
        root->l=root->r=NULL;
        return;
    }
    if(x<root->data)
    {
    
    
        insert(root->l,x);
        updataheight(root);
        if(getbalancefactor(root)==2)
        {
    
    
            if(getbalancefactor(root->l)==1)//LL型树
            {
    
    
                right_rotation(root);
            }
            else//LR型树
            {
    
    
                left_rotation(root->l);
                right_rotation(root);
            }
        }
    }
    else
    {
    
    
        insert(root->r,x);
        updataheight(root);
        if(getbalancefactor(root)==-2)
        {
    
    
            if(getbalancefactor(root->r)==-1)//RR型树
            left_rotation(root);
            else//RL型树
            {
    
    
                right_rotation(root->r);
                left_rotation(root);
            }
        }
    }
}