C++：AVL树

编程语言 2023-09-30 02:24:45 阅读次数: 0

目录

一.AVL树介绍

1.AVL树的概念

2.AVL树性质

平衡因子：左右子树高度之差

3.为什么设计高度差不超过1？

4.AVL相比满二叉树:

5.AVL树图例

二.模拟实现AVL树

阶段一：左单旋

阶段二：右单旋 

三：左右双旋

1.先左后右

2.先右后左 双旋:

情况1： 

情况2：

AVL树总代码：

一.AVL树介绍

1.AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但 如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查
找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii
和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：
当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均 搜索长度。
 

2.AVL树性质

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
它的左右子树都是 AVL 树
左右子树高度之差 ( 简称平衡因子 ) 的绝对值不超过1(-1/0/1)（即：树中任何一个子树高度差都不超过1）

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如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在O(log2 n),搜索时间复杂度O(log2 n)

平衡因子：左右子树高度之差

平衡因子不是必须要维护的，在操作时也可以直接通过高度函数来算，只不过比较麻烦

3.为什么设计高度差不超过1？

只有满二叉树才能保证每个子树高度差是0（2^h-1）
做不到相等，退而求其次，左右高度差不超过1

4.AVL相比满二叉树:

完全二叉树:最后一层缺一些节点
AVL二叉树:最后两层缺一些节点

5.AVL树图例

8d1598ea5d474046aaafe711526b9e4f.png

二.模拟实现AVL树

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阶段一：左单旋

右边高--左旋转
旋转原则:
1、保持搜索树的规则
2、子树变平衡

左单旋的条件：(30)parent->_bf = 2，(60)subR->_bf = 1   （_bf是平衡因子，subR是parent的右孩子）

左单旋规则：对30进行左单旋，60必须是30的右支，父亲30是儿子60的左支就是左旋，右支就是右旋（如果在b下加子节点 就等价 先右后左双旋的情况2了，图在下面）

左单旋：（右边高）在c下插入一个节点时，把b给根30右节点，再把30给60的左节点。

27854139de3b43b4a8c52d6a87b21c0a.png

30这棵树可能是局部的子树，上面还有根节点ppNode，更新完30开始的这颗子树的平衡因子后不必再向上更新，因为30为根的这个树旋转前高度是h+2(30,60,h)，旋转后高度还是h+2 没变

7186070b04e94ac79bd7a4afcb83f1e3.png
0e964a0620634840af80b9d0e94212af.png

（如果在b下加子节点 就等价 先右后左双旋的情况2了）

dbed78404e534eb4b4d072042b95b9ae.png

 20f934a46ed34ffeafbcdf9da2e5e19a.png

#pragma once

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	pair<K, V> _kv;
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;

	// 右子树-左子树的高度差
	int _bf;  // balance factor

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _bf(0)
	{}

	// AVL树并没有规定必须要设计平衡因子
	// 只是一个实现的选择，方便控制平衡
};

template<class K, class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		// 1、搜索树的规则插入
		// 2、看是否违反平衡规则，如果违反就需要处理：旋转
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			_root->_bf = 0;
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}

		cur->_parent = parent;

		// ...
		// 更新平衡因子
		while (parent) // 最远要更新根
		{
			if (cur == parent->_right)
			{
				parent->_bf++;
			}
			else
			{
				parent->_bf--;
			}

			// 是否继续更新？
			if (parent->_bf == 0)  // 1 or -1  -》 0  插入节点填上矮的那边
			{
				// 高度不变，更新结束
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
				// 0  -》 1 或 -1  插入节点导致一边变高了
			{
				// 子树的高度变了，继续更新祖先
				cur = cur->_parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
				// -1 or 1  -》 2 或 -2  插入节点导致本来高一边又变高了
			{
				// 子树不平衡 -- 需要旋转处理
				// ...
			}
			else
			{
				// 插入之前AVL就存在不平衡子树，|平衡因子| >= 2的节点
				assert(false);
			}
		}

		return true;
	}
private:
	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;

		Node* ppNode = parent->_parent;

		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;

		if (parent == _root)
		{
			_root = subR;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parent == ppNode->_left)
			{
				ppNode->_left = subR;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subR;
			}

			subR->_parent = ppNode;
		}
	}

private:
	Node* _root = nullptr;
};

void TestAVLTree()
{
	AVLTree<int, int> t;
	t.Insert(make_pair(1, 1));
	t.Insert(make_pair(2, 2));
	t.Insert(make_pair(3, 3));
}

阶段二：右单旋 

右单旋的条件：(60)parent->_bf = -2，(60)subL->_bf = -1

动的就是parent 60，subL 30，subLR b

c39add27f71649219e7de83aafcda7b3.png

示例：

代码：

void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;

		Node* ppNode = parent->_parent;

		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;

		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = subL;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subL;
			}
			subL->_parent = ppNode;
		}

		subL->_bf = parent->_bf = 0;	
	}

三：左右双旋

1.先左后右

AVL树的双旋转使用对应的单旋转后还要更新平衡因子

先左后右双旋的条件：parent->_bf = -2，subL->_bf = 1，不用管subLR是几

树 h>=1

相当于是把60的左给30的右，把60的右给90的左，30,90作左右子树，60再做根节点

90f6a1457b7849bca243f60a922b0027.png

h==0，先左后右 双旋最简单的情况

66dcaff4d6e84b8cb94d9694273ec385.png

361d290a99124248a77039ffafbdfa3d.png

2.先右后左 双旋:

先右后左双旋的条件：parent->_bf = 2，subR->_bf = -1，不用管subRL是几

情况1： 

f60f3f0b18514e119c8ffb3aa8ab6747.png

情况2：

a16b942b0d99417683d36fa1953cb72b.png

AVL树总代码：

#pragma once
#include <assert.h>
#include <vector>
#include <queue>
#include <time.h>

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	pair<K, V> _kv;
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;

	// 右子树-左子树的高度差
	int _bf;  // balance factor

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _bf(0)
	{}

	// AVL树并没有规定必须要设计平衡因子
	// 只是一个实现的选择，方便控制平衡
};

template<class K, class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	// Find
	// Erase
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		// 1、搜索树的规则插入
		// 2、看是否违反平衡规则，如果违反就需要处理：旋转
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			_root->_bf = 0;
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}

		cur->_parent = parent;

		// ...
		// 更新平衡因子
		while (parent) // 最远要更新根
		{
			if (cur == parent->_right)
			{
				parent->_bf++;
			}
			else
			{
				parent->_bf--;
			}

			// 是否继续更新？
			if (parent->_bf == 0)  // 1 or -1  -》 0  插入节点填上矮的那边
			{
				// 高度不变，更新结束
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
				// 0  -》 1 或 -1  插入节点导致一边变高了
			{
				// 子树的高度变了，继续更新祖先
				cur = cur->_parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
				// -1 or 1  -》 2 或 -2  插入节点导致本来高一边又变高了
			{
				// 子树不平衡 -- 需要旋转处理
				if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) // 左单旋
				{
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) // 右单旋
				{
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1) // 左右双旋
				{
					RotateLR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1) // 右左双旋
				{
					RotateRL(parent);
				}
				
				break;
			}
			else
			{
				// 插入之前AVL就存在不平衡子树，|平衡因子| >= 2的节点
				assert(false);
			}
		}

		return true;
	}
private:
	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;

		Node* ppNode = parent->_parent;

		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;

		if (parent == _root)
		{
			_root = subR;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parent == ppNode->_left)
			{
				ppNode->_left = subR;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subR;
			}

			subR->_parent = ppNode;
		}

		// 更新平衡因子
		parent->_bf = 0;
		subR->_bf = 0;
	}

	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;

		Node* ppNode = parent->_parent;

		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;

		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = subL;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subL;
			}
			subL->_parent = ppNode;
		}

		subL->_bf = parent->_bf = 0;	
	}

	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;
			
		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);

		// 更新平衡因子
		if(bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 1;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			// subLR->_bf旋转前就有问题
			assert(false);
		}
	}

	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;

		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);

		if (bf == 0)
		{
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
			subR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
		}
		else
		{
			// subLR->_bf旋转前就有问题
			assert(false);
		}
	}

	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;

		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first <<" ";
		_InOrder(root->_right);
	}

	int _Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;

		int lh = _Height(root->_left);
		int rh = _Height(root->_right);

		return lh > rh ? lh + 1 : rh + 1;
	}

	bool _IsBalanceTree(Node* root)
	{
		// 空树也是AVL树
		if (nullptr == root)
			return true;

		// 计算pRoot节点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差
		int leftHeight = _Height(root->_left);
		int rightHeight = _Height(root->_right);
		int diff = rightHeight - leftHeight;

		// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者
		// pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树
		if (abs(diff) >= 2)
		{
			cout << root->_kv.first << "节点平衡因子异常" << endl;
			return false;
		}

		if (diff != root->_bf)
		{
			cout << root->_kv.first << "节点平衡因子不符合实际" << endl;
			return false;
		}

		// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树
		return _IsBalanceTree(root->_left)
			&& _IsBalanceTree(root->_right);
	}

public:

	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}

	vector<vector<int>> levelOrder() {
		vector<vector<int>> vv;
		if (_root == nullptr)
			return vv;

		queue<Node*> q;
		int levelSize = 1;
		q.push(_root);

		while (!q.empty())
		{
			// levelSize控制一层一层出
			vector<int> levelV;
			while (levelSize--)
			{
				Node* front = q.front();
				q.pop();
				levelV.push_back(front->_kv.first);
				if (front->_left)
					q.push(front->_left);

				if (front->_right)
					q.push(front->_right);
			}
			vv.push_back(levelV);
			for (auto e : levelV)
			{
				cout << e << " ";
			}
			cout << endl;

			// 上一层出完，下一层就都进队列
			levelSize = q.size();
		}

		return vv;
	}

	bool IsBalanceTree()
	{
		return _IsBalanceTree(_root);
	}

	int Height()
	{
		return _Height(_root);
	}
private:
	Node* _root = nullptr;
};

void TestAVLTree1()
{
	//int a[] = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 };
	int a[] = { 30,29,28,27,26,25,24,11,8,7,6,5,4,3,2,1 };
	AVLTree<int, int> t;
	for (auto e : a)
	{
		t.Insert(make_pair(e, e));
	}
	t.levelOrder();
}

void TestAVLTree2()
{
	const size_t N = 1024*1024*10;
	vector<int> v;
	v.reserve(N);
	srand(time(0));
	for (size_t i = 0; i < N; ++i)
	{
		//v.push_back(rand());
		v.push_back(i);
	}

	AVLTree<int, int> t;
	for (auto e : v)
	{
		t.Insert(make_pair(e, e));
	}

	//t.levelOrder();
	//cout << endl;
	cout << "是否平衡?" << t.IsBalanceTree() << endl;
	cout << "高度:" << t.Height() << endl;


	//t.InOrder();
}

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