底层结构

前面对map/multimap/set/multiset进行了简单的介绍，在其文档介绍中发现，这几个容器有个共同点是：其底层都是按照二叉搜索树来实现的，但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成O(N)，因此map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现。

本节总代码

本节所有知识点代码如下，参考学习

#include<iostream>
using namespace std;

template<class T>
struct AVLTreeNode
{
    AVLTreeNode<T>* _left;
    AVLTreeNode<T>* _right;
    AVLTreeNode<T>* _parent;
    T _data;
    int _bf;                  // 该节点的平衡因子

    AVLTreeNode(const T& data = T())
        : _left(nullptr)
        , _right(nullptr)
        ,_parent(nullptr)
        , _data(data)
        ,_bf(0)
    {}
};

//假设元素唯一
template<class T>
class AVLTree
{
    typedef AVLTreeNode<T> Node;
public:
    AVLTree()
        :_root(nullptr)
    {}
    ~AVLTree()
    {
        _DestroyAVLTree(_root);
    }

    bool Insert(const T& data)
    {
        if (nullptr == _root)
        {
            _root = new Node(data);
            return true;
        }
        //1.按照BST性质找到待插入的元素data是否在avl树中存在
        Node* cur = _root;
        Node* parent = nullptr;
        while (cur)
        {
            parent = cur;
            if (data < cur->_data)
                cur = cur->_left;
            else if (data>cur->_data)
                cur = cur->_right;
            else
                return false;
        }
        //插入新节点
        cur = new Node(data);
        if (data < parent->_data)
        {
            parent->_left = cur;
        }
        else
        {
            parent->_right = cur;
        }
        cur->_parent = parent;
        //cur新节点插入之后，parent的子树的高度就发生了变化，需要更新parent的平衡因子
        while (parent)
        {
            if (cur == parent->_left)
                parent->_bf--;
            else
                parent->_bf++;

            if (0 == parent->_bf)
                break;
            else if (1 == parent->_bf||-1 == parent->_bf)
            {
                //说明parent为根的二叉树高度增加了一层
                cur = parent;
                parent = cur->_parent;
            }
            else
            {
                //parent平衡因子为2与-2
                if (2 == parent->_bf )
                {
                    //parent的右子树高度高--旋转处理
                    if (cur->_bf == 1)
                    {
                        RotateLeft(parent);
                    }
                    else
                    {
                        //cur平衡因子为-1
                        RotateRL(parent);
                    }
                }
                else
                {
                    //parent的左子树高度高--旋转处理 -2
                    if (cur->_bf == -1)
                    {
                        RotateRight(parent);
                    }
                    else
                    {
                        RotateLeft(parent->_left);
                        RotateLR(parent);
                    }
                }
                break;
            }
        }
        return true;
    }

    void Inorder()
    {
        cout << "中序遍历:";
        _Inorder(_root);
        cout << endl;
    }
private:
    //左单旋
    void RotateLeft(Node* parent)
    {
        Node* subR = parent->_right;
        Node* subRL = subR->_left;

        parent->_right = subRL;
        //注意右单支，即subRL可能为空
        if(subRL)
            subRL->_parent = parent;

        subR->_left = parent;
        Node* pParent = parent->_parent;
        parent->_parent = subR;
        subR->_parent = pParent;

        if (nullptr == pParent)
        {
            _root = subR;
        }
        else
        {
            if (parent == pParent->_left)
                pParent->_left = subR;
            else
                pParent->_right = subR;
        }
        parent->_bf = subR->_bf = 0;
        
    }

    //右单旋
    void RotateRight(Node* parent)
    {
        Node* subL = parent->_left;
        Node* subRL = subR->_right;

        parent->_left = subLR;
        if(subLR)
            subRL->_parent = parent;

        subL->_right = parent;
        Node* pParent = parent->_parent;
        parent->_parent = subL;
        subL->_parent = pParent;
        if (nullptr == pParent)
        {
            _root = subL;
        }
        else
        {
            if (parent == pParent->_left)
                pParent->_left = subL;
            else
                pParent->_right = subL;
        }
        parent->_bf = subL->_bf = 0;
    }

    void RotateLR(Node* parent)
    {
        RotateLeft(parent->_left);
        RotateRight(parent);
    }

    void RotateRL(Node* parent)
    {
        RotateRight(parent->_right);
        RotateLeft(parent);
    }

    void _Inorder(Node* root)
    {
        if (root)
        {
            _Inorder(root->_left);
            cout << root->_data << " ";
            _Inorder(root->_right);
        }
    }

    void _DestroyAVLTree(Node*& root)
    {
        if (root)
        {
            _DestroyAVLTree(root->_left);
            _DestroyAVLTree(root->_right);
            delete root;
            root = nullptr;
        }
    }
    Node* _root;
};

void TestAVLTree()
{
    int array[] = { 5,3,7,1,4,6,8,0,2,9 };
    AVLTree<int> t;
    for (auto e : array)
    {
        t.Insert(e);
    }
    t.Inorder();
}
int main()
{
    TestAVLTree();
    return 0;
}

1. AVL 树

1.1 AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。

解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

它的左右子树都是AVL树

左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1）

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在O(log_2 n)，搜索时间复杂度O(log_2 n)

1.2 AVL树节点的定义

template<class T>
struct AVLTreeNode
{
     AVLTreeNode(const T& data)
         : _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
     , _data(data), _bf(0)
     {}
     AVLTreeNode<T>* _pLeft;   // 该节点的左孩子
     AVLTreeNode<T>* _pRight;  // 该节点的右孩子
     AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的双亲
     T _data;
     int _bf;                  // 该节点的平衡因子
};