【数据结构】5.大根堆和左高树 - 代码实现
https://www.cnblogs.com/stux/p/17755003.html1.大根堆
1.1 定义
大根树：树中的每一个节点的值都大于或等于其子节点的值
大根堆：既是大根树又是完全二叉树（增加了完全二叉树的限制条件）所以下图中只有(a)和(c)是大根堆
1.2 大根堆的插入（数组实现）
假设在下面大根堆中插入一个元素9，插入步骤如下，时间复杂度为O(height)=O(logn)
- 尝试插入在6号位置，如果新的元素小于3号位置，则插入；否则把3号位置的元素向下移动到6号位置
- 尝试插入在3号位置，如果新的元素小于1号元素，则插入；否则把1号位置的元素向下移动到3号位置，循环终止
1.3 大根堆的出队
出队元素是最大的元素，也就是根节点，我们首先将1号元素删除，然后拿到最后一个元素，从上向下做插入的操作，时间复杂度为O(height)=O(logn)
1.4 大根堆的初始化
自下而上：从最后一个元素开始对比，到第一个元素结束，具体步骤如下
- ①找到孩子节点 2 和 7 中更大的元素，接下来与其双亲节点对比，7 更大所以交换 5 和 7 的位置
- ①找到孩子节点 7 和 6 中更大的元素，接下来与其双亲节点对比，7 更大所以交换 1 和 7 的位置；②找到孩子节点 2 和 5 中更大的元素，接下来与其双亲节点对比，5 更大所以交换 1 和 5 的位置
这里的循环包括两个步骤，第一个步骤是从下到上交换一次，第二个步骤是从上到下再检查一遍
2.左高树
2.1 高度优先左高树和重量优先左高树
左高树合并操作的时间复杂度更低，适合需要合并操作较多的数据
定义一类特殊的节点为外部节点来代替空子树，其余节点为内部节点。增加了外部节点的二叉树称为扩充二叉树。
定义距离s：s 是该节点到外部节点的最短路径。
定义重量w：w 是该节点重量的和，节点本身重量为1，节点的重量为自身重量与孩子重量的和。
高度优先左高树（height-biased leftist tree，HBLT）：这个二叉树任何一个内部节点左孩子的 s 值都大于等于右孩子的 s 值。其中上图(a)就不是一棵左高树，因为它左侧子树的左孩子值为0，而右孩子值为1，下图是2个HBLT。
重量优先左高树（weight-biased leftist tree，WBLT）：这个二叉树任何一个内部节点左孩子的 w 值都大于或等于右孩子的 w 值。
2.2 HBLT的性质
- 堆的性质：任意节点值的大小 ≤ 其孩子节点的大小（小根堆，也可以是 ≥ ）
- 左偏性质：左孩子的距离 s ≥ 右孩子的距离 s
- 任意节点的距离 s 都等于其右孩子的距离 + 1
- 一棵有 n 个节点的二叉树，根的距离dis ≤ long(n+1) - 1（距离最远就是满二叉树的情况，否则一定有更短路径出去）
2.3 HBLT的插入和删除
插入相当于将已有的树和一棵仅有一个元素的树进行合并操作
删除相当于将左右两棵HBLT进行合并操作
2.4 HBLT的合并（链式实现）
用一张图解释合并的过程，我们需要把两棵树合并到 x 上
- 对比 x 指向节点数值和 y 指向节点数值的大小
- 如果节点数值 x < y，则将 x 指向的地址和 y 指向的地址交换
- 将 x 指针移动到 x 的右孩子位置
这就是图左完整的递归过程，递归的过程实际上就是在比较两个左高树右侧孩子链的大小，并来回交换来保证堆的性质，所以整个递归应该是O(logm)+O(logn)的时间复杂度
- 首先 x 移动到下一个位置指向元素 7，对比元素 7 和元素 8，元素 8 更大，所以指针指向的地址互换，元素 8 移动到右孩子的位置
- 然后 x 移动到下一个位置指向元素 6，对比元素 6 和元素 7，元素 7 更大，所以指针指向的地址呼唤，元素 7 移动到右孩子的位置
- 然后 x 移动到下一个位置指向 NULL，因为 x 指向 NULL，所以直接将 x 指向 y 所指向的地址，递归结束
最后一步是回溯，已经完成元素的插入后，需要维护左高树的性质，回溯的过程就是根据距离不断交换孩子节点的位置，保证左孩子的距离 ≥ 右孩子的距离
