前言
本系列文章【
数据结构】默认会使用 C/C++ 进行设计实现！其他语言的实现方式请参照分析设计思路自行实现！
注[1]：文章属于学习总结，相对于课本教材而言，不具有相应顺序性！（可在合集中自行查看是否存在相应文章）！
注[2]：如有问题或想让博主进行思路分析的内容，可在后台私信！
文章目录
完全二叉树的认识
- 完全二叉树的定义：对一颗具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为 i （ 1 <= i <= n）与同样深度的满二叉树中编号为 i 的结点在二叉树中的位置完全相同，则这颗二叉树称为：完全二叉树。
- 完全二叉树的简单认识（白话描述特点）：除了最底层，其他层都是满节点（构成一个满二叉树），最底层一定满足从左到右不含空叶结点的二叉树！
堆的基本认识
- 堆（Heap）是计算机科学中一类特殊的数据结构，是最高效的优先级队列。
- 堆通常是一个可以被看作一棵
完全二叉树的数组对象。
上述图片中的第二行式子，描述的就是：
堆的特性：堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值！
堆的性质 及 大小根堆【重要】
-
堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值！ -
堆总是一棵完全二叉树！ -
大根堆：即根节点的值最大！ -
小根堆：即根节点的值最小！
堆的结构及其顺序结构（特点）
堆的结构认识
- 在逻辑上，堆的性质之一，堆一定是一个完全二叉树！
- 在存储结构上，由于完全二叉树的层序”排列特点“，我们一般都是使用数组或其他顺序存储结构来作为存储对象，来模拟堆！
顺序存储结构
由完全二叉数的图示结构，不难看出，如果按照层序遍历，将其排列成一行，可以形成一个不含空结点（数值）的数组结构！
如上图所示，将根节点存储在索引值为：0 的位置！（有如下特点！）
若索引为 i 的结点存在左右子结点，则：
左子树结点索引：2 * i + 1右子树结点索引：2 * i + 2
若已知：左 / 右子结点的索引值为：n，则：
父节点索引为：(n-1) / 2
向上调整算法
算法基本思路（以小根堆为例）：
- 找到不符合堆性质的结点！记为：目标节点！如上图中的：0。
- 将
目标结点与其父节点进行值对比！
- 若目标结点值
小于父节点的值，则进行父子交换！ - 若目标结点的值比其父结点的值大，则停止向上调整，此时该树已经是小堆了。
如上图，流程说明：
- 第一次，0 < 8，交换 0 与 8，此时有原来 8 位置上的就是原来的目标值！
- 第二次，0 < 4，交换 0 与 4，
…
如上图中，目标值 0 一定是向上调整到整棵树的根节点位置！
交换中的索引值确认方式：
- 若已知：左 / 右子结点的索引值为：n，则：
- 父节点索引为：(n-1) / 2
C/C++ 语言代码设计
- 由于 C 语言中没有容器，故我们需要动态申请一块内存作为数组存储我们的数据元素（动态内存申请部分将在后文实现）。
- C++ 可以直接使用 vector 来作为容器存储数据。
void Swap(DataType* x, DataType* y)
{
DataType tmp = *x;
*x = *y;
*y = tmp;
}
/* 向上调整算法 */
// void AdjustUp(vector<DataType>& vec, int idx) // C++
void AdjustUp(DataType* vec, int idx)
{
int parent = (idx-1) / 2; // 记录当前结点的父节点位置！
while(idx > 0){
// 循环条件：目标节点的位置必须合法！
// 注：当目标节点索引为 1 或 2 时，若发生交换则一定会被调整到 0 处！
// 小根堆为例：特点：父小于子！
if( vec[idx] < vec[parent] ){
Swap(&vec[idx], &vec[parent]); // 值交换
idx = parent; // 更新目标值的索引！
parent = (idx-1) / 2; // 更新父节点的索引！
}else break;
}
}
向下调整算法
算法基本思路（以大根堆为例）：
向下调整算法需要满足一个前提：
若想将其调整为小堆，那么根结点的左右子树必须都为小堆。
若想将其调整为大堆，那么根结点的左右子树必须都为大堆。
- 找到不符合堆性质的结点！记为：目标节点！如上图中的：20。
- 将
目标结点与其较大子节点进行值对比！（大根堆）；将目标结点与其较小子节点进行值对比！（小根堆）。 - 以大根堆为例，若目标结点值（父）
小于较大子节点的值，则进行父子交换！
使用堆的向下调整算法，最坏的情况下（即一直需要交换结点），需要循环的次数为：h - 1次（h为树的高度）。而 h = log2(N+1)（N为树的总结点数）。所以
堆的向下调整算法的时间复杂度为：O(logN) 。
如上图，流程说明：
- 第一次，9 < 36，较大值为：36！20 < 36，交换 20 与 36，此时有原来 36 位置上的就是原来的目标值！
- 第二次，-54 < 10，较大值为：10！20 > 10，调整结束！
交换中的索引值确认方式：
- 若已知：父结点的索引值为：n，则：
- 左子树结点索引：2 * n + 1
- 右子树结点索引：2 * n + 2
C/C++ 语言代码设计
void Swap(DataType* x, DataType* y)
{
DataType tmp = *x;
*x = *y;
*y = tmp;
}
/* 向下调整算法：大根堆 */
// void AdjustUp(vector<DataType>& vec, int size, int idx) // C++
// 参数：size：数组的大小
void AdjustDown(DataType* vec, int size, int idx){
int child = idx*2+1; // child 表示子树索引！
// 此处假设较大值为：左子节点
while( child < size ){
// 判断 左右子结点的大小关系
// 大根堆：选较大的
// 小根堆：选较小的
if( child+1 < size && vec[child+1] > vec[child] ) child++;
if( vec[idx] < vec[child]){
//将父结点与较大的子结点交换
Swap(&vec[child], &vec[idx]);
//继续向下进行调整
idx= child;
child = 2 * idx+ 1;
}else break;
}
}
任意二叉树 => 堆（关注）：如何保证子树一定是大/小堆呢？
在前文的向下调整算法中有一个约束！
向下调整算法需要满足一个前提：
若想将其调整为小堆，那么根结点的左右子树必须都为小堆。
若想将其调整为大堆，那么根结点的左右子树必须都为大堆。
提问：如何保证子树一定是大/小堆呢？
- 由堆的特性，
根节点要么总是小于左右子结点，要么总是大于左右子结点！只要满足任意子树符合该特性即可！实现思路：从倒数第一个课子树开始，即尾结点的父结点开始！进行向下调整即可！
下图演示了以调整为小根堆为例！
代码实现：
void ToHeap(DataType* vec, int size){
for(int i = (size - 1 - 1) / 2;i >= 0; i--)
AdjustDown(vec, size, i);
}
堆的设计与实现
- 本文将使用 C 设计实现顺序存储式的堆！
存储结构的设计
C 语言中为例使堆能适用于更多的数据类型，我们采用如下设计方式！
// 堆中的类型设定
typedef int DataType;
// 数据类型的设计
typedef struct _Heap{
DataType* heapArray; // 底层数据存储依托于数组
int size; // 记录当前堆中的元素个数
int capacity; // 记录当前栈的最大可存储的元素个数！！！
}Heap;
初始化堆
此处的设计思路为：将已有的序列调整成堆！
需要完成的工作：
- 内存的申请
- 数据拷贝
- 堆的调整：任意二叉树 => 堆
/*
Heap* heap ：输出型参数，构建堆
DataType* vec ：数据序列
*/
void InitHeap(Heap* heap, DataType* vec, int size){
assert(heap);
// 内存申请
DataType* temp = (DataType*)malloc(sizeof(DataType)*size);
if(temp == NULL){
printf("malloc fail\n");
exit(-1);
}
// 堆结构的初始化
heap->heapArray = temp;
heap->size = size;
heap->capacity = size;
// 数据拷贝
memcpy(heap->heapArray, vec, sizeof(DataType)*size);
// 堆的调整：任意二叉树 => 堆
for(int i = (size-1-1)/2; i>=0;i--)
AdjustDown(heap->heapArray, size, i);
}
插入数据（涉及扩容）
数据插入的思路：
- 对于数组而言，高效的增删数据操作位置必然是在尾部！
数据插入策略：先把新元素放置在数组尾部！再使用向上调整算法，进行堆调整！
操作流程：
- 检查堆中的数据元素个数（是否需要扩容）
- 堆调整（尾插数据 => 向上调整算法）
关于扩容：
在堆的初始化中，我们只是申请了一个与数据源序列大小相同的数组存储数据！
- 若没有数据的插入，则空间利用率最高！
- 若有数据插入，需要进行扩容！
扩容的条件：
堆中的数据元素个数 = 堆可存储的最多元素个数
关于扩容策略说明：本文的主要目的是模拟实现堆，因此，此处不考虑空间的使用情况！
- 默认扩容策略是：2 倍扩容！
void Insert(Heap* heap, DataType val){
assert(heap);
// 是否扩容检查
if(heap->size == heap->capacity){
DataType* temp= (DataType*)realloc( heap->heapArray, 2 * (heap->capacity) * sizeof(DataType) );
if(temp == NULL){
printf("insert fail, may be realloc fail");
return;
}
heap->heapArray = temp;
heap->capacity *= 2;
}
heap->heapArray[heap->size] = val;
heap->size++;
AdjustUp(heap->heapArray, heap->size-1);
}
堆的销毁
关于堆的销毁，只需要把握住对于动态内存申请的内存需要使用 free 释放，为了防止野指针出现，需要把指针置空即可！
/销毁堆
void HeapDestroy(Heap* heap)
{
assert(heap);
free(heap->heapArray); //释放动态开辟的数组
php->a = NULL; //防止野指针出现
php->size = 0; //元素个数置0
php->capacity = 0; //容量置0
}
判断堆是否为空
堆是否为空的关键：
堆中的元素个数是否为：0！
C 语言的后续版本中有 bool 类型，但是为了更加适配，我们使用 int 类型作为判断依据！
int IsEmpty(Heap* heap){
if(heap->size == 0) return 1; // 空，返回：1
return 0; // 非空，返回：0
}
获取堆顶元素
使用数组作为存储容器，堆顶元素自然就是根节点，即存储在索引为：0 的位置。
注意点：要确保堆不是空的！
int HeapTop(Heap* heap){
// 非空才有堆顶！
assert(heap->size != 0);
return heap->heapArray[0];
}
删除元素（注意点）
注意点：
堆的删除：是指删除堆顶元素！- 删除的前提：有元素！
堆的删除策略：
- 交换堆顶与尾元素的值！
- 对交换上来的值进行向下调整！
- 修改堆中的元素个数（size–）
void HeapDel(Heap* heap){
assert(heap);
assert(!IsEmpty(heap));
// 交换元素值：堆顶元素 与 尾元素
Swap(&heap->heapArray[0], &heap->heapArray[size-1]);
heap->size--;
AdjustDown(heap->heapArray, heap->size, 0);
}
获取堆的元素个数
int HeapSize(Heap* heap){
return heap->size;
}
结语
本文仅是简单设计实现堆的相关操作！后续会更新堆的应用或算法题！