【隐马尔可夫模型】用前向算法计算观测序列概率P（O｜λ） - 代码天地

【隐马尔可夫模型】用前向算法计算观测序列概率P（O｜λ）

企业开发 2023-12-17 12:30:51 阅读次数: 0

【隐马尔可夫模型】用后向算法计算观测序列概率P（O｜λ）

【隐马尔可夫模型】隐马尔可夫模型的观测序列概率计算算法及例题详解

例：盒子和球模型 $\lambda=(A,B,\pi)$ ，状态集合 $Q=\{1,2,3\}$ ，观测集合 $V=\{Red,White\}$

$\left.A=\left[\begin{array}{ccc}0.5&0.2&0.3\\0.3&0.5&0.2\\0.2&0.3&0.5\end{array}\right.\right],\quad B=\left[\begin{array}{ccc}0.5&0.5\\0.4&0.6\\0.7&0.3\end{array}\right],\quad\pi=\left[\begin{array}{c}0.2\\0.4\\0.4\end{array}\right]$

$T=3,O=(\text{Red,White,Red})$ ,求 $P(O|\lambda).$

解答

A为状态转移概率矩阵，B为观测概率矩阵，π 为初始状态概率向量，O为观测序列

首先计算前向概率初值，注意 $a_{ij}$ 指A的i行j列， $b_i(o_j)$ 指B的i行 $o_j$ 列，

例如 $o_1$ 是Red，对应观测集合V的第一列，对应观测概率矩阵B的第一列！

$\begin{aligned}\alpha_1(1)&=\pi_1b_1(o_1)=0.10\\\alpha_1(2)&=\pi_2b_2(o_1)=0.16\\\alpha_1(3)&=\pi_3b_3(o_1)=0.28\end{aligned}$

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依据初值进行递推计算，这里 $b_1(o_3)$ 就是对应B的第一行第一列的元素

$\begin{aligned} \alpha_{2}(1)& =\left[\sum_{i=1}^{3}\alpha_{1}(i)a_{i1}\right]b_{1}(o_{2})=0.154\times0.5=0.077 \\ \alpha_{2}(2)& =\left[\sum_{i=1}^3\alpha_1(i)a_{i2}\right]b_2(o_2)=0.184\times0.6=0.1104 \\ \alpha_{2}(3)& =\left[\sum_{i=1}^3\alpha_1(i)a_{i3}\right]b_3(o_2)=0.202\times0.3=0.0606\\ \\ \alpha_{3}(1)& =\left[\sum_{i=1}^3\alpha_2(i)a_{i1}\right]b_1(o_3)=0.04187 & \\ \alpha_{3}(2)& =\left[\sum_{i=1}^3\alpha_2(i)a_{i2}\right]b_2(o_3)=0.03551 \\ \alpha_{3}\left(3\right)& =\left[\sum_{i=1}^3\alpha_2(i)a_{i3}\right]b_3(o_3)=0.05284 \end{aligned}$

递推到T=3终止，对前向概率求和得到 $P(O|\lambda).$

$P(O|\lambda)=\sum_{i=1}^3\alpha_3(i)=0.13022$

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