【C语言】浮点数在内存中的存储原理

浮点数是什么？

带有小数点的数就是浮点数，浮点数能表示小数和整数。浮点数家族有3种类型：float,double和long double类型。

例子：

• 浮点数3.14表示小数3.14
• 浮点数3.0表示整数3

为什么叫做浮点数？

在数学的科学计数法中，小数点在不同的位置也能表示同一个小数。
例子：

• 一个小数1234.5
• 用科学计数法可以等价于1.2345 x 10³
• 也可以等价于12.345 x 10²

观察这3个相同值中的小数点，像是在左右“浮动”，所以可以叫做浮点数。

浮点数存储规则

浮点数的规定标准是由IEEE（Institute of Electrical and Electronics Engineers）制定的IEEE 754标准。IEEE 754标准为浮点数提供了一套统一的表示方法和运算规则，使得不同计算机系统之间可以进行浮点数的交互和计算。

根据IEEE 754标准，任意的二进制浮点数由三个部分组成：符号位、指数位和尾数位。

• 符号位用于表示浮点数的正负;
• 指数位用于表示浮点数的数量级;
• 尾数位用于表示浮点数的精度。

用式子表示任意的二进制浮点数：(-1)^S * M * 2^E

• S是符号位，如果S等于0就是正数，S等于1就是负数；
• E是指数位，E是几，就是乘以2的几次方；
• M是尾数位，可以理解为小数点后面的数。

计算机只需存储符号位S,指数位E和尾数位M，就能存储一个浮点数。

已知一个十进制的浮点数，如何获取S,E和M呢？下面通过一个例子说明：

1. 设一个十进制的浮点数为V并且令V = 5.5（假设这个浮点数是5.5）
2. 把5.5转换为二进制的浮点数101.1。具体的换算过程如下图：
   (需要注意二进制浮点数的权重，小数点右边从2的-1次方开始再到2的-2次方，以此类推)
   
3. 把二进制的浮点数101.1转换成二进制的科学计数法的形式：1.011 x 2²；
4. 最后在1.011 x 2²的前面再补上符号位即可，因为5.5是正数，所以乘上-1的0次方：(-1)⁰ x1.011x2²
   此时就能在(-1)⁰ x1.011x2² 式子中得知S是0，E是2，M是1.011
   
   再举一个浮点数为9.0的例子：
   

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IEEE 754规定，存储浮点数时，根据精度的不同有两种存储方式：

1. 32个比特位的单精度浮点数，其中最高的1位是符号位S(红色区域)，紧接着的8个比特位是指数位E(绿色区域)，在指数位后面的23个比特位是尾数位M(紫色区域)。
   
2. 64个比特位的双精度浮点数（双精度浮点数比单精度浮点数更精确），其中最高的1位是符号位S(红色区域)，紧接着的11个比特位是指数位E(绿色区域)，在指数位后面的52个比特位是尾数位M(紫色区域)。
   

在上面提到过，内存想要存储一个浮点数，只需存储符号位S,指数位E和尾数位M即可。
根据IEEE 754的规定，之前的例子中算出来的指数位E和尾数位M还不能直接存储到内存中，E和M还有额外的要求：

• 尾数位M：规定M的取值范围是 1<=M<2，所以存储M时，整数部分的1直接省略，这样做的目的是可以少存储一个比特位，读取的时候再将整数部分的1补上即可，这就是为什么M叫做尾数位，因为存储M时只存储小数部分。
• 指数位E：规定存储E时，首先E得是一个无符号整型（unsigned int 类型）。
  在存储32个比特位的单精度浮点数中，E(8bit)的取值范围是0 ~ 255;
  在存储64个比特位的双精度浮点数中，E(11bit)的取值范围是0 ~ 2047。
  但因为实际上科学计数法中的E可以是负数(以0.5为例)
  
  为了避免E存储的是负数，IEEE 754规定存储E的真实值时，需要先加上一个中间数再存储到内存中。
  在存储32个比特位的单精度浮点数中，这个中间数是127;
  在存储64个比特位的双精度浮点数中，这个中间数是1023。
  只有概念不好理解，举个例子，还是以0.5为例：
  0.5转换成二进制的科学计数法中，E的真实值是-1，
  如果0.5是以32位浮点数存储，那么E的真实值-1先加上127得到126，再把126存储到内存中；
  
  如果0.5是以64位浮点数存储，那么E的真实值-1先加上1023得到1022，再把1022存储到内存中。
  

最后以5.5为例，完整的演示5.5怎么存储到内存中：

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在内存中取出一个浮点数时，指数位E分为3种情况：

1. E全为0，此时的浮点数一定是非常接近于0的数，直接表示0。
   在32位上E的真实值是-126(1-127)，在64位上E的真实值是-1022(1-1023)，
   M的整数部分不还原1，而是还原0，变成0.xxxx。
2. E全为1，如果M全为0，表示正无穷大或负无穷大。
3. 一般情况：把指数E的存储值减去127（或1023）得到E的真实值，
   M的整数部分还原1，变成1.xxxx，符号位直接取，
   最后用(-1)^S * M * 2^E得到结果。

一道例题

问以下代码分别输出的是什么：

#include<stdio.h>
int main()
{
    
    
	int n = 9;
	float* pFloat = (float*)&n;
	printf("n的值为：%d\n", n); 
	printf("*pFloat的值为：%f\n", *pFloat);
	*pFloat = 9.0;
	printf("num的值为：%d\n", n);
	printf("*pFloat的值为：%f\n", *pFloat);
	return 0;
}

output:

注释：

#include<stdio.h>
int main()
{
    
    
	int n = 9;//整型的空间大小是32位
	// 00000000 00000000 00000000 00001001

	float* pFloat = (float*)&n;
	printf("n的值为：%d\n", n); //以整数的形式打印变量n中的数据9

	//通过浮点型指针pFloat访问00000000 00000000 00000000 00001001的时候，
	//是以浮点数的角度看待00000000 00000000 00000000 00001001的，
	//所以00000000 00000000 00000000 00001001会被看做
	//    0 00000000 00000000000000000001001
	//    S E        M
	//    0 -126     0.00000000000000000001001
	// E在内存中是全0，所以E是-126
	printf("*pFloat的值为：%f\n", *pFloat);//%f小数点右边只打印6位
	*pFloat = 9.0;
	//1001.0 - 二进制的9.0
	//1.001 * 2^3 - 二进制的科学计数法
	//(-1)^0 * 1.001 * 2^3 
	//S = 0  E = 3  M = 1.001
	//0 10000010 00100000000000000000000
	//9.0是以浮点数的形式放进变量n，但是变量n以整数的形式打印时，
	// 会被认为01000001000100000000000000000000是补码，最高位是符号位，后面是数值位
	//0 1000001000100000000000000000000 
	printf("num的值为：%d\n", n);//1,091,567,616
	printf("*pFloat的值为：%f\n", *pFloat);//9.0
	//注意打印的数据和打印的类型需要匹配
	return 0;
}

完。