数据结构——图的基本概念

高能预警！！！本节包含巨多概念！！！

——本节内容为Bilibili王道考研《数据结构》P54视频内容笔记。

一、图的定义

一、图的定义

1.图G由顶点集V和边集E组成，记为G=(V,E)，其中V(G)表示图G中顶点的有限非空集；E(G)表示图G中顶点之间的关系（边）集合。

2.若 $V=\left \{ v_{1},v_{2},...,v_{n} \right \}$ ，则用 |V| 表示图G中顶点的个数，也称图G的阶；

3. $E=\left \{ (u,v)| u\in V,v\in V \right \}$ ，用 |E| 表示图G中边的条数；

4.线性表可以是空表，树可以是空树，但图不可以是空图，即V一定是非空集，但E可以是空集，如下：

二、无向图、有向图

1.无向图

若E是无向边（简称边）的有限集合时，则图G为无向图。边是顶点的无序对，记为(v,w)或(w,v)，因为(v,w)=(w,v)，其中v、w是顶点。可以说顶点w和顶点v互为邻接点，边(v,w)依附于顶点w和v，或者说边(v,w)和顶点v、w相关联。如下图：

$G_{2}=(V_{2},E_{2})$

$V_{2}=\left \{ A,B,C,D,E \right \}$

$E_{2}=\left \{ (A,B),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E) \right \}$

2.有向图

若E是有向边（也称弧）的有限集合时，则图G为有向图。弧是顶点的有序对，记为<v,w>，其中v、w是顶点，v称为弧尾，w称为弧头，<v,w>称为从顶点v到顶点w的弧，也称v邻接到w，或w邻接自v。 $<v,w>\neq <w,v>$ ，如下图：

$G_{1}=(V_{1},E_{1})$

$V_{1}=\left \{ A,B,C,D,E \right \}$

$E_{1}=\left \{ <A,B>,<A,C>,<A,D>,<A,E>,<B,A>,<B,C>,<B,E>,<C,D> \right \}$

三、简单图、多重图

1.简单图：

（1）不存在重复边；

（2）不存在顶点到自身的边；

（3）主要研究这个；

2.多重图：

（1）图G中某两个结点之间的边数多于一条，又允许顶点通过同一条边和自己关联，则G为多重图；

四、顶点的度、入度、出度

1.无向图的度

（1）对于无向图而言，顶点v的度是指依附于该顶点的边的条数，记为TD(v)；

（2）在具有n个顶点、e条边的无向图中，全部顶点的度之和等于边数的2倍，即：

$\sum_{i=1}^{n}TD(v_{i})=2e$

2.有向图的度、入度、出度

（1）对于有向图而言，

入度是以顶点v为终点的有向边的数目，记为ID(v)；

出度是以顶点v为起点的有向边的数目，记为OD(v)；

（2）顶点v的度等于其入度与出度之和，即TD(v)=ID(v)+OD(v)；

（3）在具有n个顶点、e条边的有向图中，所有顶点的入度之和与出度之和都相等且等于边数，即：

$\sum_{i=1}^{n}ID(v_{i})=\sum_{i=1}^{n}OD(v_{i})=e$

五、顶点与顶点的关系描述

1.路径

一个顶点到另一个顶点之间的一条路径是指顶点序列，无向图的路径方向没有限制，但有向图的路径方向只能和弧的方向一致；

2.回路

第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环；

3.简单路径

在路径序列中，顶点不重复出现的路径称为简单路径；

4.简单回路

除第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路称为简单回路；

5.路径长度

路径中边的数目；

6.点到点的距离

从顶点u出发到顶点v的最短路径若存在，则此路径的长度称为从u到v的距离；若从u到v根本不存在路径，则记该距离为无穷（∞）；

7.连通

（1）无向图中，若从顶点v到顶点w有路径存在，则称v和w是连通的；

（2）有向图中，若从顶点v到顶点w和从顶点w到顶点v之间都有路径，则称这两个顶点是强连通的；

（3）若无向图G中任意两个顶点都是连通的，则称图G为连通图，否则称为非连通图；

（4）若有向图中任何一对顶点都是强连通的，则称此图为强连通图；

（5）对于n个顶点的无向图G，若G是连通图，则最少有n-1条边；若G是非连通图，则最多可能有 $C_{n-1}^{2}\textrm{}$ 条边；

（6）对于n个顶点的有向图G，若G是强连通图，则最少有n条边（形成回路）；

六、子图

1.定义

（1）设有两个图G=(V,E)和G'=(V',E')，若V'是V的子集，且E'是E的子集，则称G'是G的子图；说白了就是从原图中摘出来一部分，但这部分必须称得上图；

（2）若有满足V(G')=V(G)的子图G'，则称其为G的生成子图；说白了就是顶点全部摘出来，边随便；

2.图示

七、连通分量

1.连通分量

（1）无向图中的极大连通子图称为连通分量；

（2）子图必须连通，且包含尽可能多的顶点和边；

（3）图示：

2.强连通分量

（1）有向图中的极大强连通子图称为有向图的强连通分量；

（2）子图必须强连通，同时保留尽可能多的边；

（3）图示：

八、生成树

1.生成树

（1）连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图；

（2）边尽可能的少，但要保持连通；

（3）若图中顶点数为n，则它的生成树含有n-1条边。对于生成树而言，若砍去它的一条边，则会变成非连通图，若加上一条边则会形成一个回路；

（4）图示：

2.生成森林

（1）在非连通图中，连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林；

（2）图示：

九、边的权、带权图/网

1.边的权

在一个图中，每条边都可以标上具有某种含义的数值，该数值称为该边的权值；

2.带权图/网

边上带有权值的图称为带权图或网；

3.带权路径长度

当图是带权图时，一条路径上所有边的权值之和，称为该路径的带权路径长度；

4.图示

十、几种特殊形态的图

1.无向完全图

（1）定义：任意两个顶点之间都存在边；

（2）边数应为 $C_{n}^{2}$ ；

（3）若无向图的顶点数|V|=n，则 $|E|\in [0,C_{n}^{2}]=[0,\frac{n(n-1)}{2}]$ ；

（4）图示：

2.有向完全图

（1）定义：任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧；

（2）边数应为 $2C_{n}^{2}$ ；

（3）若有向图的顶点数|V|=n，则 $|E|\in [0,2C_{n}^{2}]=[0,n(n-1)]$ ；

（4）图示：

3.稀疏图和稠密图

（1）稀疏图：边数很少的图；

（2）稠密图：边数很多的图；

（3）没有绝对的界限，一般来说 |E|<|V|log|V| 时，可以将G视为稀疏图；

4.树

（1）不存在回路，且连通的无向图；

（2）n个顶点的树，必有n-1条边；

（3）n个顶点的图，若|E|>n-1，则一定有回路；

（4）有向树：一个顶点的入度为0、其余顶点的入度均为1的有向图；

（5）图示：