闭环排队理论简介

在排队理论简介一文中，笔者详细介绍了排队理论的基本内容。在该文中，申请流是来自系统外部的，其强度（或密度）并不取决于系统本身，也不取决于系统的状态。而在本文中，将探讨另一种排队理论，其申请流的强度与系统的状态有关，因而称之为闭环排队系统。

1. 系统情景

设想如下情景。在一家工厂中，调试员看管$n$架机床。每架机床可能在任意时刻发生故障并停止工作，需要调试员的维修，该故障发生的强度（密度）为$\lambda$。如果此时调试员空闲，则开始维修，维修用时
$${\bar{t}}_{mt}=\frac{1}{\mu }$$而如果机床故障时调试员并不空闲（处于忙状态），则故障机床加入等待队列直到调试员来维修。

针对此情景，一般我们感兴趣如下3个指标：

• 调试员空闲的概率；
• 出现排队队列的概率；
• 等待维修的机床数量的平均数。

在此情景中，申请流来自于机床本身，其数量是有限的，并依据其自身的状态（正常/故障）来发出申请。因此，整个申请流的强度自然而然取决于有多少个机床与维修挂钩（不论是正在被维修的还是等待维修的）。

与排队理论简介一文不同的是，闭环排队系统中，申请流的数量是有限的（机床个数有限）。而当申请流的数量过于庞大时，实际上排队系统本身的状态将几乎不影响申请流的状态，因此可以认为二者无关。

2. 数学描述

在该情景中，根据$n$架机床中出现故障的个数，可以定义系统的不同状态：
$S_0$ – 所有机床正常工作，没有机床故障；
$S_1$ – 有1个机床故障，调试员维修该机床，其他机床正常工作；
$S_2$ – 有2个机床故障，调试员维修一个，另一个等待，而其他机床正常工作；
$⋮$
$S_n$ – 所有$n$个机床都故障，调试员维修一个，其余$(n-1)$个排队等待。

状态图如图所示。

从状态$S_0$到$S_1$的过程中，起初是所有机床都工作的，因此该过程的强度（密度）是$n\lambda$。同样，从状态$S_1$到$S_2$的过程中，起初是$(n-1)$架机床工作、1架机床故障的，因此该过程的强度（密度）是$(n-1)\lambda$。该低占用向高占用转化的过程以此类推。

而由于只有1个调试员，每次只能修1个机床，因此每次从高占用向低占用转化时的强度一样，都是$\mu$。

这里给出不同状态$S_i$出现的概率：
$$\begin{gathered} p_1=\frac{n\lambda }{\mu }{p}_0 \\ {p}_2=\frac{n(n-1){\lambda }^2}{{\mu }^2}{p}_0 \\ ⋮ \\ {p}_n=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1\cdot {\lambda }^n}{{\mu }^n}{p}_0 \\ {p}_0=\frac{1}{1+n\left(\lambda /\mu \right)+n(n-1){\left(\lambda /\mu \right)}^2+\cdots +n(n-1)\cdots 2\cdot 1\cdot {\left(\lambda /\mu \right)}^n} \end{gathered}$$设
$$\lambda /\mu =\rho$$则上式可以写为
$$p_0=\frac{1}{1+n\rho +n(n-1){\rho }^2+\cdots +n(n-1)\cdots 2\cdot 1\cdot {\rho }^n}$$$$p_1=n\rho p_0$$$$\begin{gathered} p_2=n(n-1){\rho }^2{p}_0 \\ ⋮ \\ {p}_n=n(n-1)\cdots 2\cdot 1\cdot {\rho }^n{p}_0\text{\hspace{1em}(1)} \end{gathered}$$式中，进入每个方块的强度为乘，出每个方块的强度为除。

对于该系统来说，绝对通过性指的是单位时间内故障的平均次数。当没有故障时的概率为$p_0$，那么显然，有故障的概率（也是调试员不空闲的概率）为
$$P=1-p_0$$如果调试员为忙，则单位时间内他可修理的机床数为$\mu$，因此绝对通过性为
$$A=\left(1-p_0\right)\mu$$而调试员空闲的概率即为没有故障发生的概率$p_0$。

故障机床的平均个数可以用如下期望来计算
$$\bar{w}=1\cdot p_1+2\cdot p_2+\cdots +n\cdot p_n=\sum _{i=1}^{n}i\cdot p_i$$此数值也可以通过绝对通过性来计算。我们知道，每架机床发生故障的强度为$\lambda$；同时，平均来说系统中将正常工作有$\left(n-\bar{w}\right)$架机床；因而这些正常工作的机床发生的故障数应该为$\left(n-\bar{w}\right)\lambda$；根据绝对通过性的定义，有
$$\left(n-\bar{w}\right)\lambda =\left(1-p_0\right)\mu$$由此得到
$$\bar{w}=n-\frac{\mu }{\lambda }\left(1-p_0\right)=n-\frac{1-p_0}{\rho }$$接下来计算等待队列中等待修理的机床的个数。设所有与“修理”相关的机床数为$W$，包括队列中等待的个数$R$与正在修理的个数$\Omega$：
$$W=R+\Omega$$显然，由于只有一个调试员，因此$\Omega$只能取1或0。相应地，其期望为
$$\bar{\Omega }=0\cdot p_0+1\cdot \left(1-p_0\right)=1-p_0$$那么队伍中等待修理的机床的平均个数为
$$\bar{R}=\bar{w}-\bar{\Omega }=n-\frac{1-p_0}{\rho }-\left(1-p_0\right)=n-\left(1-p_0\right)\left(1+\frac{1}{\rho }\right)$$最后来看产能相关的指标。设一架机床的产能为$l$，则可以计算出单位时间内因故障而造成的产能损失为
$$L=\bar{w}l$$