1 引入——Shadow Mapping 阴影贴图
之前提到光栅化的着色，我们知道这是一种局部的现象
着色的过程中，我们只会考虑着色点自己，光源，以及摄像机
我们不考虑其他物体，甚至不考虑物资自身的其他部分对着色点的影响
而事实上是会有遮挡的关系的，是会有阴影的
之前我们解决不了阴影问题，现在来试着在光栅化的范围里面解决一下
一种解决方法即为Shadow Mapping
本质上Shadow Mapping这个方法是一种图像空间的做法，也就是在生成阴影这一步，我们不需要知道场景的几何信息（会在之后的实现步骤中讲述）
同时这个方法也会产生走样问题，并且经典的Shadow Mapping只能处理点光源（接下来也会以点光源为例进行讲解）
这个方法的关键思想在于——如果有点不在阴影里，那么这个点可以被摄像机和光源都看到
从这个思想我们看出阴影应该会有很明显的边界，也就是硬阴影
1.1 阴影贴图原理
- 首先我们从光源看向场景，做一遍光栅化，我们就会得到光源能看到什么，得到一幅图
我们不进行着色，把这个图的深度记下来
- 我们从摄像机出发，再次看向这个场景
- 我们把现在看到的点，投影回光源刚才看到的投影平面上
然后把 现在看到的点 和 投影回去光源得到的位置 这两个进行深度比较
如果深度一致，那就可以被看到
如果深度不一致，那就看不到
从光源视角看到的图，以及深度
下面举例
我们做Shadow Mapping的一个结果
从相机看过去，做完测试的结果
看着很脏，为什么呢？这也是这个方法存在的问题之一
浮点数的相等比较存在精度问题
人们处理精度的方法很多，但是都不能本质解决问题
还有一个问题是，一开始我们从光源看向场景，我们要把它存到一个图里面
这个图本身存在分辨率，它与渲染时的分辨率的搭配不好的话，会存在走样
更大的深度图的分辨率，开销也会变大
即使存在问题，依然是目前的主流方法
1.2 存在的问题
- 总结一下提到的问题
硬阴影（点光源）
阴影图的分辨率
浮点数的比较
所以从光栅化的思想去做全局的现象，是比较困难的事情
关于软硬阴影的问题
其实就是本影与半影的关系
如果有软阴影，一定是因为光源有一定的大小
2 Why Ray Tracing?
- 光栅化不好做全局的效果
比如软阴影，光泽反射，间接光照
有一些巧妙的方法可以处理，但是不能保证正确性
光栅化很快速，但是质量不高
光线追踪是很准确的，但是会比较慢
光栅化很容易做到实时，光线追踪经常做离线的应用
3 基本光线跟踪算法
3.1 光线定义
- 我们首先需要对光线定义
光沿直线传播，不发生碰撞，是从光源到人眼的
对于第三个性质，我们在根据光路可逆性，应用时会采取从人眼到光源的方法
3.2 Ray Casting 光线投射
光线追踪既然是追踪，我们会从终点开始，也就是从眼睛/相机开始
我们首先需要做的是光线投射
我们假设往虚拟的世界中看，眼前放了一个成像平面，成像平面被我们画成不同的像素格子
对于每一个像素，我们可以从相机连一条线，穿过这个像素，这样就可以打出一根光线，可以打到场景中
如果光线和场景的某一物体相交，那么交点和光源连线，看光源是否可见这个点（这个点在不在阴影里），如果可见，那么就形成一条有效的光路
那么就可以计算这条光路上的能量，进行着色
在下面的例子中，我们永远考虑眼睛是一个针孔摄像机，即眼睛是一个点，一个位置，不考虑实际相机的处理，以及镜头什么的（这部分会在路径追踪说）
对于场景中的物体，我们假设光打到它之后会发生完美的折射与反射
下图从眼睛开始，穿过成像平面的一个像素，投射一条光线（eye ray）
这个光线会打到场景的某一个位置上，我们取最近的交点
（这一步其实就解决了深度测试的问题）
当我们发现了一个点之后，我们要考虑这个点会不会被照亮
我们从这点到光源连一条线（shadow ray）
如果可以连上就表示能被照亮（下图黑线箭头为法线）
有了法线，入射方向，出射方向，我们就可以做着色，写入像素的值，这时候可以用各种各样的着色模型 比如之前的Blinn Phong
光线投射做了这么一件事，每一个像素投出去一个光线，和场景相交求的话求最近交点，最近交点和光源连线，判定是否可见，然后算着色，写回像素的值
3.3 递归(Whitted风格)光线追踪
之前就是用光线投射的方法，我们还是只考虑光线弹射一次，但其实光线可以弹射很多次，这也就是接下来要介绍的这个方法能做的
我们还是从光线投射开始 
在这个点上，我们先考虑这个球是一个玻璃球
光线打到这个球上肯定发生两个事情，一个是要被反射掉，一个是被折射进去
在算着色的过程中也发生了一点变化
之前是光线投射到这个点之后，看这个点能不能被照亮，然后再计算它的着色
在光线弹射次数多了以后，我们在每一个弹射点都会去计算着色的值（能量损失什么也要算），然后把它们都加回这个像素的值里面去 
4 光线与物体相交
4.1 光线与隐式表面相交
我们要判断光线投射出去之后要打到什么，也就是要求交点
那么求交点之前我们先把数学上的光线定义出来
- 光线定义也就是一条射线，有一个起点，有一个方向，有这两个量就可以定义一条光线
光线上的任何一个点都可以用 t 为自变量的函数表示
为了说明光线与曲面的交点
我们从光线与球求交的情况开始切入，交点即这个点又在球上又在光线上
方程于是可以建立起来了 
解这个方程可以有很多方法，我们根据解的情况可以得到位置关系
我们拓展到一般性的隐式表面，方法都是一样的 
4.2 光线与显式表面求交
对于显式表面的渲染，光线如何与三角形求交是一个很重要的话题
在几何上，通过这个办法也可以判断一个点在不在物体内（点如果在封闭形状内，向外打一条光线，得到的交点数量一定是奇数）
话题回到光线与三角形求交
在下图的小奶牛中，判断光线是否与它相交
最最简单的做法就是把它的三角形面挨个判断一遍（每个三角形面都会有0个或者1个交点）
很直观但是很慢（之后会介绍加速方法）
怎么样做三角形和光线的交点呢？
三角形肯定在一个平面内，所以问题可以被分成两部分
光线是否和平面有交点
这个交点在不在三角形内部
平面的定义采用点法式的定义方式
-即用一个平面上的点与平面上的法线，利用点乘为0的方式建立平面方程 
我们把光线方程带入平面方程，解出来光线与平面的交点
再之后可以判断在不在三角形内部
但是人们想两步合成一步，也就是下面的方法
左边是光线上的点，右边是用重心坐标表示的三角形内的点
解法如下图
解出来之后要判断是否合理，首先 t 得是正的，并且b1 b2 b3都是非负的
5 轴对齐包围盒（AABB）的求交
- 我们与每一个三角形求交，可以找到最近的交点
但是 计算次数 = 像素数×三角形数×弹射数 这样太慢了
所以我们要对这个过程进行改进加速，方法之一是包围盒
包围盒的思想是，将一个复杂的物体，用简单的形状围起来，保证物体一定在这个简单的形状之内
如果光线连包围盒都碰不到，那肯定碰不到包围盒里的物体
对于三维的形状，我们最常用的是长方体——不同的三对对面形成的形状
这也是AABB——轴对齐包围盒
所谓轴对齐，也就是长方体的任何一个轴都是沿着坐标轴的
接下来我们考虑光线与包围盒的求交
我们先从二维的角度（由不同的两对对面形成）考虑，三维可以同理得到
对于给定的一个光线
我们可以分别求出它与竖直和水平面的交点（此时t可能会有正负）
我们取min里的max，max里的min，
于是得到了进入和出去包围盒的 t 的值
从三维的情况来说的话
只有光线都进入了三组对面，才能说光线进入了这个盒子
只要光线离开任意一对对面，就离开了这个盒子
我们对三组对面都计算一次 t
取min中的max为最后进入时间，max中的min为最早出去的时间
进入小于出去时，也就代表光线在它们之间是在盒子里的
光线不是直线，是射线
所以有交点的情况下，我们需要对 t 进行检查
盒子在光线背后——出去时间是负数
光线起点在盒子内部——出去时间是负数且进入为正数
进行总结，在AABB的情况下
iff（if and only if）进出t小于出去t且进入t为正数
此时才有交点
为什么我们要用轴对齐包围盒？
因为轴对齐的情况下，我们可以在求t的时候，只用某一轴的信息，不用整个坐标，比点乘计算会更容易一点
6 使用轴对齐包围盒加速光线追踪
如果场景非常复杂，我们会先找到包围盒，然后再根据包围盒的情况进行对物体的求交
找到包围盒的过程是空间划分的过程
6.1 均匀空间划分
- 首先我们找到一个场景的包围盒
然后对这个包围盒进行划分，分成一堆格子
接着判定与物体相交的格子 
做完以上预处理之后，我们得到了可能含有物体的格子
在接下来做光线追踪的过程中，我们只要判断光线有交到的是不是有物体的格子，不是的话直接跳过，是的话再对盒子里的物体求交
（此处假设光线与物体求交很慢，与盒子求交很快）
下图一条光线沿着右上打过去，我们怎么知道它会碰到哪个盒子呢
最简单的想法是，如果是右上，那么下一个盒子一定在右边或者上边（这也是之前光栅化没提到的话题，如何光栅化一条线）
所谓加速就是多做光线与盒子求交，少做光线与物体求交，那么加速效果怎么样呢
如果划分成1×1的格子，那么没有加速效果 
如果划分太密集，效率也不高 
根据经验，人们大概得出划分成场景中物体数目的27倍的格子数比较好
格子的划分方法在大量均匀分布的物体上比较有效 
然而在复杂空旷的场景中表现不好，会出现类似体育场中找茶壶的现象
6.2 空间划分
在格子法中，空间划分的都是大小相同的格子，然而有些空旷的地方不需要这样，太浪费了，我们想在没物体的地方用大盒子，有物体的地方用密集的盒子
这也就引出了空间划分的方法
左一是八叉树划分，先把三维空间切成八份（二维的话如图是四份），对于每一个子节点，再切一遍，以此类推
如何停止呢，我们可以定个类似这样的规则，比如二维的情况，切成四块时三块都没物体，就不在往下切 之类的，其思想也就是划分到一定程度还没物体就不切了
但是人们不喜欢八叉树，因为比如在二维这种划分方法是四叉树，三维是八叉树，那么维度更高，就是2的n次方叉树，这样并不好，维度更高会越来越复杂
为了解决这个问题，能让空间得到划分并且和维度无关，人们发明了KD树
KD树和八叉树的划分方法几乎完全相同，只不过它每次沿着某一个轴看开，并且只砍一刀，永远这么做
空间被划分成类似二叉树的结果，每次节点的划分底下都只有两个子节点
划分时为了均匀起见，xyz依次砍
还有很多方法，比如BSP树，是一种对空间二分的划分方法，它每次选一个方向砍开，它和KD树的区别是它不是横平竖直地砍，而且它会有越高维越不好计算的问题（砍开二维用线，砍开三维用面，维度越高越复杂）
6.2.1 KD树
以下是一个KD树划分的例子
我们先明确，这些空间划分方法是在光线追踪之前，先把空间加速结构划分好，然后再进行光线追踪
下图每一块都需要砍开，只不过示意图只沿着右边在做
- 一开始竖直划分成1 B
之后B划分成2 C
以此类推
当前节点沿着哪个轴划分
划分在哪里
中间节点一定有子节点
最终的物体存在叶子节点上
下面我们看看这个结构将如何加速光线追踪
- 考虑我们划分成这种情况
首先考虑最大的包围盒A，发现有交点，那么对于左右子节点可能都有交集
我们发现和左边蓝色的有交点
我们假设它是叶子节点，就先这样，继续看右边，发现也有交点
以此类推判断2 然后判断C （图略）
然后判断3，发现3是叶子节点，在3中与物体求交，找到交点
KD树会产生一些问题
- 给出一个节点的包围盒，我们要知道它和哪些三角形有交集，这是很难的，不太好写
- 一个物体和很多包围盒都有交集的话，它可能会存在很多个叶子节点中
6.3 物体划分&BVH
空间划分存在一些问题，于是人们发现了另一种做法，我们不从空间划分，我们从物体开始划分，这种划分形成的加速结构也就是所谓的BVH
- BVH是怎么运作的呢，最开始也一样有一个盒子包围场景作为根节点
然后我们把物体分为两部分（怎么求之后再说），然后重新求他们这两部分的包围盒
以蓝色节点为例，我们继续划分再重新求包围盒，划分到比较少的三角形，比如5个三角形左右就可以停止
BVH的特性是，一个物体可以指存在在一个节点里，并且不用算三角形和包围盒求交了
但是BVH的划分并没有划分开，包围盒可能会相交，不过没什么问题，我们做到尽可能重叠少就好，这也是当今一个研究的方向
下图进行了一个总结
关于怎么划分一个节点，有很多方法
比如 选一个最长的轴划分 或者 取中间的物体（第n/2个三角形）（可以采用快速划分算法）
主要是为了保证树的平衡
关于BVH的存储结构也做一个总结，只有子节点存物体
如何加速光线追踪和KD树其实差不多，到子节点测物体
一个是对空间的划分，一个是对物体的划分，以下是总结
到这里我们算是讲完了whitted风格的光线追踪。