C++实现扩展欧几里得算法及其应用

C++实现扩展欧几里得算法及其应用

扩展欧几里得算法是计算两个整数最大公约数的经典算法之一，并且可以求出对应的贝祖恒等式的解。在很多应用领域都有广泛的应用，比如密码学、编码和计算机图形学等。本文将使用C++实现扩展欧几里得算法，并给出相应的应用示例。

1. 扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法通过递归计算两个数的余数来求最大公约数，其中同时计算出了每个递归步骤中解决所需的贝祖恒等式的系数。具体代码实现如下：

// 求解ax + by = gcd(a, b)的解
// 返回gcd(a, b)
int extend_gcd(int a, int b, int& x, int& y) {
    if (b == 0) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int d = extend_gcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

2. 应用示例

2.1 计算模反元素

模反元素指在模意义下，某个数与模数的最大公约数为1时，求出能够使它与模数相乘的结果为1的数。在RSA密码学中，模反元素被广泛应用。

// 求解ax ≡ 1(mod mod_value)的最小正整数解
// 如果x不存在，返回0
int calc_mod_inverse(int a, int mod_value) {
    int x, y;
    int d = extend_gcd(a, mod_value, x, y);
    if (d