形象理解线性代数（二）——行列式的意义

通过形象理解线性代数（一）——什么是线性变换？，我们已经知道，原来矩阵 $A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$ 的作用就是对向量的线性变换，而且更具体地讲，是对原空间的基底的变换。如果原空间的基底是 $(\overrightarrow{e_{1}}=\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}, \overrightarrow{e_{2}}=\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix})$ ，那么变换后的新的基底应该就相当于用A对旧的基底进行变换（缩放和旋转），并且新的基底( $\small \overrightarrow{e_{1}^{'}}=A\overrightarrow{e_{1}}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} =1\begin{bmatrix} a_{11}\\ a_{21} \end{bmatrix}+0\begin{bmatrix} a_{12}\\ a_{22} =\end{bmatrix}=\overrightarrow{A_{_{1}}}$ , $\small \overrightarrow{e_{2}^{'}}=A\overrightarrow{e_{2}}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix} =0\begin{bmatrix} a_{11}\\ a_{21} \end{bmatrix}+1\begin{bmatrix} a_{12}\\ a_{22} \end{bmatrix}=\overrightarrow{A_{_{2}}}$ )。其中 $\small \overrightarrow{A_{_{1}}},\overrightarrow{A_{_{2}}}$ 代表矩阵的列向量。

一、行列式与两组基所围成的面积之间的巧合

示例

对于矩阵 $A=\begin{bmatrix} 3 & 0\\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ ，相当于把原来的基 $(\overrightarrow{e_{1}}=\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}, \overrightarrow{e_{2}}=\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix})$ 变成了 $(\overrightarrow{e_{1}^{'}}=\begin{bmatrix} 3\\ 0 \end{bmatrix}, \overrightarrow{e_{2}^{'}}=\begin{bmatrix} 0\\ 2 \end{bmatrix})$ ，那么两组基所围成的面积，在图上看，得到，分别是1和6，两者之比为6.

而与此同时，矩阵的行列式 $\small det(A)=3*2-0=6$ ，是不是很巧合？所以我们先有一个感性的认识，矩阵的行列式就是在变换过程中的某个区域的面积的变化倍数。

可能你又要问了，但是行列式会有正负啊？面积怎么会有正负呢？

其实面积也有方向的概念。在原空间上， $\overrightarrow{e_{1}}$ 是在 $\overrightarrow{e_{2}}$ 的顺时针方向，所以面积为正。如果 $\overrightarrow{e_{1}}$ 是在 $\overrightarrow{e_{2}}$ 的逆时针方向，那么面积就是负的，如果在同一方向（共线），那么面积就是0。如果考虑到角度的方向性，是不是和内积中的 $<x,y>=|x||y|cos(x,y)$ 有着异曲同工之妙？

同理，在高维空间中，体积之比就是行列式。行列式为0，即非满秩，也即是空间的维度比原空间降低了。

二、行列式表达式与面积的关系

原基所组成的面积为1，拉伸之后的基所组成的面积如图，最后推导可得到行列式表达式。

三、矩阵相乘的行列式

$det(A)det(B)$ 和 $det(AB)$ 是相等的。

形象理解线性代数（二）——行列式的意义

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