机器学习：马尔可夫模型

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1 马尔可夫模型

  马尔可夫模型(Markov Model, MM)是一种统计模型，广泛应用在自然语言处理等领域中。

1.1 数学定义

  考虑一组随机变量序列 X = { X 0 , X 1 , … , X t , …   } X=\{X_{0},X_{1},\dots,X_{t},\dots\} X={ X0​,X1​,…,Xt​,…},其中$X_t$表示时刻$t$的随机变量，并且每个随机变量$X_t$的取值集合相同，称为状态空间$S$。$S$可以是离散的，也可以是连续的。
  假设在时刻$0$的随机变量$X_0$遵循概率分布$P(X_0)=\pi (0)$, 即为初始状态分布。若某个时刻$t\ge 1$的随机变量$X_t$与前一个时刻的随机变量$X_{t-1}$之间有条件分布$F(X_t|X_{t-1})$，并且$X_t$只依赖于$X_{t-1}$，而不依赖于过去的随机变量$(X_0,X_1,\dots ,X_{t-2})$，则$X$具有马尔可夫性质，称为马尔科夫链。即$$P(X_t|X_0,X_1,\dots ,X_{t-1})=P(X_t|X_{t-1}),t=1,2,\dots$$其中，$P(X_t|X_{t-1})$称为马尔科夫链的转移概率分布。
  另外，若条件转移概率分布与时间$t$无关，则称为时间齐次的马尔可夫链。即$$P(X_{t+s}|X_{t+s-1})=P(X_t|X_{t+1})$$  若某个时刻$t\ge 1$的随机变量$X_t$与前$n$个状态相关，则称为$n$阶马尔可夫链。即$$P(X_t|X_0\dots X_{t-1})=P(X_t|X_{t-n}{X}_{t-n+1}\dots X_{t-1})$$

  除了马尔可夫性外，马尔可夫链还可能具有不可约性、常返性、周期性和遍历性。

1.2 两种马尔可夫链

1.2.1 离散马尔可夫链

  如果上述随机变量$X_t(t=0,1,2,\dots ,)$是定义在离散空间$S$中，则称为离散马尔可夫链，其转移概率分布可以用矩阵表示。若 S = { 1 , 2 , … , n } S=\{1,2,\dots,n\} S={ 1,2,…,n}则转移概率分布矩阵为：$$P=\left[\begin{array}{cccc}{p}_{11}& p_{12}& \dots & p_{1n}\\ p_{21}& p_{22}& \dots & p_{2n}\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ p_{n1}& p_{n2}& \dots & p_{nn}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(1)}$$其中$p_{ij}=P(X_t=i|X_{t-1}=j)$为马尔可夫链在$t-1$时刻从状态$j$转移到时刻$t$的状态$i$的概率。$p_{ij}\ge 0$且${\sum }_i{p}_{ij}=1$。
  马尔可夫链在任意时刻$t$的状态分布，可以由在时刻$t-1$的状态分布及转移概率分布决定，即$\pi (t)=P\pi (t-1)=P\cdot P\pi (t-2)$。依次类推$\pi (t)=P^t\pi (0)$

1.2.2 连续马尔可夫链

  如果状态空间$S$定义在连续空间，则序列$X$称为连续马尔可夫链。则转移概率分布由概率转移核函数来表示。对任意的$x\in S,A\in S)$, 转移概率$$P(x,A)={\int }_{A}p(x,y)dy$$

参考资料

1. 《统计学习方法》