机器学习算法之——隐马尔可夫模型(Hidden Markov Models,HMM)

上星期写了Kaggle竞赛的详细介绍及入门指导，但对于真正想要玩这个竞赛的伙伴，机器学习中的相关算法是必不可少的，即使是你不想获得名次和奖牌。那么，从本周开始，我将介绍在Kaggle比赛中的最基本的也是运用最广的机器学习算法，很多项目用这些基本的模型就能解决基础问题了。
今天我们开始介绍隐马尔可夫模型(Hidden Markov Models,HMM)，本模型的先学模型是马尔科夫模型，如果是基础学习者，请参看该链接：马尔可夫模型 https://www.jiqizhixin.com/graph/technologies/af069cf9-02bf-4f10-bcec-4db0fe820232。

1 概述¹

隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model，HMM）是结构最简单的动态贝叶斯网，这是一种著名的有向图模型，主要用于时序数据建模（语音识别、自然语言处理等）。

假设有三个不同的骰子（6面、4面、8面），每次先从三个骰子里选一个，每个骰子选中的概率为1/3，如下图所示，重复上述过程，得到一串数字[1 6 3 5 2 7]。这些可观测变量组成可观测状态链。

同时，在隐马尔可夫模型中还有一条由隐变量组成的隐含状态链，在本例中即骰子的序列。比如得到这串数字骰子的序列可能为[D6 D8 D8 D6 D4 D8]。

隐马尔可夫模型示意图如下所示：

图中，箭头表示变量之间的依赖关系。在任意时刻，观测变量（骰子点数）仅依赖于状态变量（哪类骰子），“观测独立性假设”。

同时，t时刻的状态q_t仅依赖于t-1时刻的状态q_t-1。这就是马尔可夫链，即系统的下一时刻的状态仅由当前状态决定不依赖以往的任何状态（无记忆性），“齐次马尔可夫性假设”。

2 隐马尔可夫模型三要素

对于一个隐马尔可夫模型，它的所有N个可能的状态的集合Q={q₁,q₂,…,q_N}，所有M个可能的观测集合V={v₁,v₂,…,v_M}

隐马尔可夫模型三要素：

1. 状态转移概率矩阵A，A=[a_ij]_NxN，a_ij表示任意时刻t状态q_i条件下，下一时刻t+1状态为q_j的概率;
2. 观测概率矩阵B，B=[b_ij]_NxM，b_ij表示任意时刻t状态q_i条件下，生成观测值v_j的概率;
3. 初始状态概率向量Π，Π=(π₁,π₂,…,π_N),π_i表示初始时刻t=1，状态为q_i的概率。

一个隐马尔可夫模型可由λ=(A, B, Π)来指代。

3 隐马尔可夫模型的三个基本问题

• （1） 给定模型λ=(A, B, Π)，计算其产生观测序列O={o₁,o₂,…,o_T}的概率P(O|λ)；
  计算掷出点数163527的概率

• （2） 给定模型λ=(A, B, Π)和观测序列O={o₁,o₂,…,o_T}，推断能够最大概率产生此观测序列的状态序列I={i₁,i₂,…,i_T}，即使P(I|O)最大的I；
  推断掷出点数163527的骰子种类

• （3） 给定观测序列O={o₁,o₂,…,o_T}，估计模型λ=(A, B, Π)的参数，使P(O|λ)最大；
  已知骰子有几种，不知道骰子的种类，根据多次掷出骰子的结果，反推出骰子的种类

这三个基本问题在现实应用中非常重要，例如根据观测序列O={o₁,o₂,…,o_T-1,}推测当前时刻最有可能出现的观测值O_T，这就转换成基本问题（1）；

在语音识别中，观测值为语音信号，隐藏状态为文字，根据观测信号推断最有可能的状态序列，即基本问题(2)；

在大多数应用中，人工指定参数模型已变得越来越不可行，如何根据训练样本学得最优参数模型，就是基本问题(3)。

4 三个基本问题的解法

基于两个条件独立假设，隐马尔可夫模型的这三个基本问题均能被高效求解。

4.1 基本问题（1）解法

4.1.1 直接计算法(概念上可行，计算上不可行)

通过列举所有可能的长度为T的状态序列I=(i₁,i₂,…,i_T)，求各个状态序列I与观测序列O同时出现的联合概率P(I,O|λ)，然后对所有可能求和得到P(O|λ)。

状态序列I=(i₁,i₂,…,i_T)的概率是P(I|λ)=π₁a₁₂a₂₃…a_(T-1)T

对于固定状态序列 I，观测序O=(o₁,o₂,…,o_T)的概率P(O|I,λ)= b₁₁b₂₂…b_TT

I 和 O同时出现的联合概率P(I,O|λ)= P(I|λ) P(O|I,λ)

然后对所有可能的 I 求和，得到P(O|λ)

这种方法计算量很大，算法不可行。

4.1.2 前向算法(forward algorithm)(t=1,一步一步向前计算)

前向概率α_t(i)= P(o₁,o₂,…,o_t,i_i=q_i|λ)，表示模型λ，时刻 t，观测序列为o₁,o₂,…,o_t且状态为q_i的概率。

（1） 初始化前向概率

状态为q_i和观测值为o₁的联合概率 α₁(i)=π₁b_i1

（2） 递推t=1,2,…,T-1
根据下图，得到α_t+1(i)= [Σ_j=1,…,Nα_t(j)α_ji]b_i(t+1)

（3） 终止 P(O|λ) = Σ_i=1,…,Nα_T(i)

前向算法高效的关键是其局部计算前向概率，根据路径结构，如下图所示，每次计算直接利用前一时刻计算结果，避免重复计算，减少计算量。

4.1.3 后向算法(backward algorithm)

后向概率β_t(i) = P(o₁,o₂,…,o_t,i_i=q_i|λ)，表示模型λ，时刻t，从t+1到时刻T观测序列o₁,o₂,…,o_t且状态为q_i的概率。

（1）初始化后向概率

对最终时刻的所有状态为q_i规定β_T(i) = 1。

（2）递推t=T-1,T-2,…,1

根据下图，计算t时刻状态为q_i，且时刻t+1之后的观测序列为o_t+1,o_t+2,…，o_t的后向概率。只需考虑t+1时刻所有可能的N个状态q_i的转移概率(transition probability) α_ij,以及在此状态下的观测概率b_i(t+1),然后考虑q_j之后的后向概率β_t+1(j)，得到β_t(i) = Σ_j=1,…,Nβ_t+1(j)α_ijb_i(t+1).

（3） 终止 P(O|λ) = Σ_i=1,…,Nβ₁(i)π_ib_i1

前向算法高效的关键是其局部计算前向概率，根据路径结构，如下图所示，每次计算直接利用前一时刻计算结果，避免重复计算，减少计算量。

4.2 基本问题（2）解法

4.2.1 近似算法

选择每一时刻最有可能出现的状态，从而得到一个状态序列。这个方法计算简单，但是不能保证整个状态序列的出现概率最大。因为可能出现转移概率为0的相邻状态。

4.2.2 Viterbi算法

使用动态规划求解概率最大（最优）路径。t=1时刻开始，递推地计算在时刻t状态为i的各条部分路径的最大概率，直到计算到时刻T，状态为i的各条路径的最大概率，时刻T的最大概率即为最优路径的概率，最优路径的节点也同时得到。

如果还不明白，看一下李航《统计学习方法》的186-187页的例题就能明白算法的原理。

状态[3 3 3]极为概率最大路径。

4.3 基本问题（3）解法

4.3.1 监督学习方法

给定S个长度相同的（观测序列，状态序列）作为训练集(O₁,I₁)，O₂,I₃)，…, (O_s,I_s)使用极大似然估计法来估计模型参数。

转移概率α_ij 的估计:样本中t时刻处于状态i，t+1时刻转移到状态j的频数为α_ij，则

观测概率b_ij和初始状态概率π_i的估计类似。

4.3.2 Baum-Welch算法

使用EM算法得到模型参数估计式

EM算法是常用的估计参数隐变量的利器，它是一种迭代方法，基本思想是：

（1） 选择模型参数初始值；

（2） (E步)根据给定的观测数据和模型参数，求隐变量的期望；

（3） (M步)根据已得隐变量期望和观测数据，对模型参数做极大似然估计，得到新的模型参数，重复第二步。

5 Python代码实现²

5.1 Baum-Welch算法的程序实现

这里提供Baum-Welch算法的代码实现。
本来打算试一下用自己写的HMM跑一下中文分词，但很可惜，代码运行的比较慢。所以改成 模拟 三角波 以及 正弦波

# encoding=utf8

import numpy as np
import csv

class HMM(object):
    def __init__(self,N,M):
        self.A = np.zeros((N,N))        # 状态转移概率矩阵
        self.B = np.zeros((N,M))        # 观测概率矩阵
        self.Pi = np.array([1.0/N]*N)   # 初始状态概率矩阵

        self.N = N                      # 可能的状态数
        self.M = M                      # 可能的观测数

    def cal_probality(self, O):
        self.T = len(O)
        self.O = O

        self.forward()
        return sum(self.alpha[self.T-1])

    def forward(self):
        """
        前向算法
        """
        self.alpha = np.zeros((self.T,self.N))

        # 公式 10.15
        for i in range(self.N):
            self.alpha[0][i] = self.Pi[i]*self.B[i][self.O[0]]

        # 公式10.16
        for t in range(1,self.T):
            for i in range(self.N):
                sum = 0
                for j in range(self.N):
                    sum += self.alpha[t-1][j]*self.A[j][i]
                self.alpha[t][i] = sum * self.B[i][self.O[t]]

    def backward(self):
        """
        后向算法
        """
        self.beta = np.zeros((self.T,self.N))

        # 公式10.19
        for i in range(self.N):
            self.beta[self.T-1][i] = 1

        # 公式10.20
        for t in range(self.T-2,-1,-1):
            for i in range(self.N):
                for j in range(self.N):
                    self.beta[t][i] += self.A[i][j]*self.B[j][self.O[t+1]]*self.beta[t+1][j]

    def cal_gamma(self, i, t):
        """
        公式 10.24
        """
        numerator = self.alpha[t][i]*self.beta[t][i]
        denominator = 0

        for j in range(self.N):
            denominator += self.alpha[t][j]*self.beta[t][j]

        return numerator/denominator

    def cal_ksi(self, i, j, t):
        """
        公式 10.26
        """

        numerator = self.alpha[t][i]*self.A[i][j]*self.B[j][self.O[t+1]]*self.beta[t+1][j]
        denominator = 0

        for i in range(self.N):
            for j in range(self.N):
                denominator += self.alpha[t][i]*self.A[i][j]*self.B[j][self.O[t+1]]*self.beta[t+1][j]

        return numerator/denominator

    def init(self):
        """
        随机生成 A，B，Pi
        并保证每行相加等于 1
        """
        import random
        for i in range(self.N):
            randomlist = [random.randint(0,100) for t in range(self.N)]
            Sum = sum(randomlist)
            for j in range(self.N):
                self.A[i][j] = randomlist[j]/Sum

        for i in range(self.N):
            randomlist = [random.randint(0,100) for t in range(self.M)]
            Sum = sum(randomlist)
            for j in range(self.M):
                self.B[i][j] = randomlist[j]/Sum

    def train(self, O, MaxSteps = 100):
        self.T = len(O)
        self.O = O

        # 初始化
        self.init()

        step = 0
        # 递推
        while step<MaxSteps:
            step+=1
            print(step)
            tmp_A = np.zeros((self.N,self.N))
            tmp_B = np.zeros((self.N,self.M))
            tmp_pi = np.array([0.0]*self.N)

            self.forward()
            self.backward()

            # a_{ij}
            for i in range(self.N):
                for j in range(self.N):
                    numerator=0.0
                    denominator=0.0
                    for t in range(self.T-1):
                        numerator += self.cal_ksi(i,j,t)
                        denominator += self.cal_gamma(i,t)
                    tmp_A[i][j] = numerator/denominator

            # b_{jk}
            for j in range(self.N):
                for k in range(self.M):
                    numerator = 0.0
                    denominator = 0.0
                    for t in range(self.T):
                        if k == self.O[t]:
                            numerator += self.cal_gamma(j,t)
                        denominator += self.cal_gamma(j,t)
                    tmp_B[j][k] = numerator / denominator

            # pi_i
            for i in range(self.N):
                tmp_pi[i] = self.cal_gamma(i,0)

            self.A = tmp_A
            self.B = tmp_B
            self.Pi = tmp_pi

    def generate(self, length):
        import random
        I = []

        # start
        ran = random.randint(0,1000)/1000.0
        i = 0
        while self.Pi[i]<ran or self.Pi[i]<0.0001:
            ran -= self.Pi[i]
            i += 1
        I.append(i)

        # 生成状态序列
        for i in range(1,length):
            last = I[-1]
            ran = random.randint(0, 1000) / 1000.0
            i = 0
            while self.A[last][i] < ran or self.A[last][i]<0.0001:
                ran -= self.A[last][i]
                i += 1
            I.append(i)

        # 生成观测序列
        Y = []
        for i in range(length):
            k = 0
            ran = random.randint(0, 1000) / 1000.0
            while self.B[I[i]][k] < ran or self.B[I[i]][k]<0.0001:
                ran -= self.B[I[i]][k]
                k += 1
            Y.append(k)

        return Y



def triangle(length):
    '''
    三角波
    '''
    X = [i for i in range(length)]
    Y = []

    for x in X:
        x = x % 6
        if x <= 3:
            Y.append(x)
        else:
            Y.append(6-x)
    return X,Y



def show_data(x,y):
    import matplotlib.pyplot as plt
    plt.plot(x, y, 'g')
    plt.show()

    return y


if __name__ == '__main__':
    hmm = HMM(10,4)
    tri_x, tri_y = triangle(20)

    hmm.train(tri_y)
    y = hmm.generate(100)
    print(y)
    x = [i for i in range(100)]
    show_data(x,y)
    

5.2 运行结果

5.2.1 三角波

三角波比较简单，我设置N=10，扔进去长度为20的序列，训练100次，下图是其生成的长度为100的序列。
可以看出效果还是很不错的。

5.2.2 正弦波

正弦波有些麻烦，因为观测序列不能太大，所以我设置N=15，M=100，扔进去长度为40的序列，训练100次，训练的非常慢，下图是其生成的长度为100的序列。
可以看出效果一般，如果改成C的代码，并增加N应该是能模拟的。

6 HMM的实际应用举例

请参看另一篇文章，基于隐马尔科夫模型(HMM)的地图匹配(Map-Matching)算法 原文链接：https://www.cnblogs.com/mindpuzzle/p/3653043.html



参考文献：
————————————————
[1] 如何用简单易懂的例子解释隐马尔可夫模型 原文链接：https://www.zhihu.com/question/20962240

[2]《机器学习》周志华

[3]《统计学习方法》李航

[4] 隐马尔科夫模型（HMM）及其Python实现 原文链接：https://blog.csdn.net/fengyanqingnudt/article/details/84135997

上一篇：集成学习（Gradient Boosting）原理详解及Python实现

下一篇：逻辑回归（Logistic Regression）原理详解及Python实现

欢迎各位订阅我，谢谢大家的点赞和专注！我会继续给大家分享我大学期间详细的实践项目。

---

1. 这部门请查看知乎：如何用简单易懂的例子解释隐马尔可夫模型？中Yang Eninala的回答，更加通俗易懂。 ↩︎

2. 代码来源李航《统计学习方法》第十章——用Python实现隐马尔科夫模型 ↩︎