PTA7-37 整数分解为若干项之和（20 分）超级详解

将一个正整数N分解成几个正整数相加，可以有多种分解方法，例如7=6+1，7=5+2，7=5+1+1，…。编程求出正整数N的所有整数分解式子。

输入格式：

每个输入包含一个测试用例，即正整数N (0$<$N$\le$30)。

输出格式：

按递增顺序输出N的所有整数分解式子。递增顺序是指：对于两个分解序列 N​1​​= { n​1​​,n​2​​,⋯ }和 N​2​​= { m​1​​,m​2​​,⋯ }，若存在 $i$ 使得 n​1​​=m​1​​,⋯,n​i​​=m​i​​ ，但是 n​i+1​​<m​i+1​​ ,则 N​1​​ 序列必定在 N​2

​​序列之前输出。每个式子由小到大相加，式子间用分号隔开，且每输出4个式子后换行。

输入样例：
7
输出样例：
7=1+1+1+1+1+1+1;7=1+1+1+1+1+2;7=1+1+1+1+3;7=1+1+1+2+2
7=1+1+1+4;7=1+1+2+3;7=1+1+5;7=1+2+2+2
7=1+2+4;7=1+3+3;7=1+6;7=2+2+3

7=2+5;7=3+4;7=7 

此题是深度优先搜索算法的变形，除去了访问标志。我们先来回顾下什么是深度优先搜索，以此题为背景，以N=3为例，则从1开始一直搜索，搜索到1 1，再搜索1，即状态为1 1 1，发现满足要求，返回上一层，状态变成1 1，再搜索2，即状态变为1 1 2，发现当前和超过3，返回上一层，状态变为1 1 ，再搜索3，以此类推，直到搜索到N=3，返回上一层变为1 1，因为搜索N个搜索完了，再返回上一层状态变为1。至此，1 1开头，后一位为试探数已经试探完毕，故1 2开头，搜索，直到N=3,1,3开头。。。最后返回到1，1变为2，以2开头。。。依次类推，其本质为对N做一个全排列，总数为N！ 这就是所谓的试探回溯法，先逐层试探，满足条件了再逐层回溯。以下提供完整AC代码并有详细注释：

#include<iostream>
using namespace std;
int sum=0,pos=-1,countN=0,N;//定义试探和，试探数组指针，试探成功次数计数器，待匹配数 
int Result[31];//定义试探数组，存放试探数字 
void DFS(int x)//深度优先搜索，层层递归，逐一试探 
{
	if(sum==N)//如果试探和等于待匹配数 
	{
		countN++;//成功次数+1 
		cout<<N<<'=';
		for(int i=0;i<pos;i++)//输出试探数 
		cout<<Result[i]<<'+';
		if(countN%4==0||Result[pos]==N)//判定最后一个试探数的情况 
		//如果成功次数为4的倍数或者试探数等于待匹配数 
		cout<<Result[pos]<<'\n';//输出试探数并换行 
		else
		cout<<Result[pos]<<';';//否则按格式输出 
		return;
	}
	else if(sum>N)//如果试探和大于待匹配数，则返回到上一层 
	return;
	for(int i=x;i<=N;i++)//范围从输入参数，即上一层传进来的试探数开始到待匹配数 
	{
		Result[++pos]=i;//指针指向下一位置并保存当前变量为试探数 
		sum+=i;//试探和累加试探数 
		DFS(i);//递归试探 
		sum-=i;//试探完毕后减去试探数，以待下一循环加上新的试探数来试探 
		pos--;//指针回复到原来的位置，以待下一次自增并保存新的试探数 
	}//注意，sum,pos作为全局变量，在连续递归调用的情况下会一直自增，故无需担心自增后马上被减去
}
int main()
{
	cin>>N;
	DFS(1);
	return 0;
}