多维拉丁超立方设计以及优化

一. 内容简介

多维拉丁超立方设计以及优化

二. 软件环境

2.1 matlab

三.主要流程

3.1 拉丁超立方设计

拉丁超立方设计是一种用于实验设计和优化的方法，旨在确保样本点在多个变量的不同水平上均匀分布。它的基本思想是将样本空间划分为均匀的子区域，然后在每个子区域内选择一个样本点。

% 设置变量范围和样本数量
rangeX = [0 1]; % X 变量范围
rangeY = [0 1]; % Y 变量范围
numSamples = 20; % 样本数量

% 生成二维拉丁超立方设计
design = lhsdesign(numSamples, 2);

% 将设计映射到指定的变量范围
samplesX = design(:, 1) * (rangeX(2) - rangeX(1)) + rangeX(1);
samplesY = design(:, 2) * (rangeY(2) - rangeY(1)) + rangeY(1);

% 绘制二维图
scatter(samplesX, samplesY, 'filled');
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Latin Hypercube Design (2D)');

3.2 随机优化拉丁超立方设计ROLHD

随机优化拉丁超立方设计（Randomized Optimization of Latin Hypercube Design，简称 ROLHD）是一种用于优化拉丁超立方设计的方法。它通过引入随机性和随机优化算法来改进原始的拉丁超立方设计，以增加样本点的均匀性和离散性。

1ROLHD 方法的基本思路如下：

2生成一个初始的拉丁超立方设计。

3使用随机优化算法对初始设计进行改进。

4在每次优化迭代中，对当前设计进行随机扰动或优化操作。

5根据某个评估指标（如最大最小距离、方差等）评估新的设计质量。

6如果新的设计优于当前设计，则接受新的设计作为当前最优设计；否则，保留当前设计。

重复步骤 3-5，直到达到指定的迭代次数或满足停止条件。

% 设置变量范围和样本数量
rangeX = [0 1]; % X 变量范围
rangeY = [0 1]; % Y 变量范围
numSamples = 20; % 样本数量

% 迭代改进型拉丁超立方设计 (ROLHD)
numIterations = 100; % 迭代次数
bestDesign = lhsdesign(numSamples, 2); % 初始的拉丁超立方设计
bestCriterion = computeCriterion(bestDesign); % 计算初始设计的准则值

for iteration = 1:numIterations
    % 生成随机变换
    transformedDesign = applyRandomTransform(bestDesign);
    
    % 计算变换后的设计的准则值
    transformedCriterion = computeCriterion(transformedDesign);
    
    % 比较新旧设计的准则值，更新当前最优设计
    if transformedCriterion < bestCriterion
        bestDesign = transformedDesign;
        bestCriterion = transformedCriterion;
    end
end

% 将设计映射到指定的变量范围
samplesX = bestDesign(:, 1) * (rangeX(2) - rangeX(1)) + rangeX(1);
samplesY = bestDesign(:, 2) * (rangeY(2) - rangeY(1)) + rangeY(1);

% 绘制二维图
scatter(samplesX, samplesY, 'filled');
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Optimized Latin Hypercube Design');

% 计算设计的准则值（示例中使用随机值作为准则值，实际应根据具体问题定义准则）
function criterion = computeCriterion(design)
    criterion = rand(); % 使用随机值作为准则值，实际应根据具体问题定义准则
end

% 应用随机变换（示例中使用随机排序作为变换，实际应根据具体问题定义变换）
function transformedDesign = applyRandomTransform(design)
    transformedDesign = design(randperm(size(design, 1)), :);
end

3.3 最大最小距离法生成优化

最大最小距离法（Maximum Minimum Distance）是一种优化方法，用于改进拉丁超立方设计。它的目标是最大化样本点之间的最小距离，以增加样本点之间的离散性和均匀性。

下面是最大最小距离法生成优化的基本思路：

1首先，生成一个初始的拉丁超立方设计。

2计算初始设计中样本点之间的最小距离。

3进行优化迭代，每次迭代都会生成一个新的设计并计算最小距离。

4在每次迭代中，对于每个样本点，通过随机重分配来生成一个新的位置。这可以通过交换两个样本点的位置或在样本点的范围内随机选择一个新的位置来实现。

5计算新设计中样本点之间的最小距离。

6如果新的设计的最小距离优于之前的设计，则接受该设计作为当前最优设计；否则，保留之前的设计。

重复步骤 4-6，直到达到指定的迭代次数或满足停止条件。

% 设置变量范围和样本数量
rangeX = [0 1]; % X 变量范围
rangeY = [0 1]; % Y 变量范围
numSamples = 20; % 样本数量

% 最大最小距离法生成拉丁超立方设计
design = maxminLHD(numSamples, 2);

% 将设计映射到指定的变量范围
samplesX = design(:, 1) * (rangeX(2) - rangeX(1)) + rangeX(1);
samplesY = design(:, 2) * (rangeY(2) - rangeY(1)) + rangeY(1);

% 绘制二维图
scatter(samplesX, samplesY, 'filled');
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Optimized Latin Hypercube Design using Max-Min Distance');

% 最大最小距离法生成优化的拉丁超立方设计函数
function design = maxminLHD(numSamples, numVariables)
    design = lhsdesign(numSamples, numVariables);
    
    % 进行最大最小距离优化
    for i = 1:numVariables
        col = design(:, i);
        col = (col - min(col)) / (max(col) - min(col));
        design(:, i) = col;
    end
end

3.4 最大熵法优化

最大熵法通过迭代优化来寻找最优的样本点布局，以最大化样本点分布的不确定性。通过不断调整样本点的位置并保持符合约束条件，最大熵法能够改进拉丁超立方设计，使样本点更加均匀分布并覆盖整个样本空间。

1确定变量的范围和约束条件，例如每个变量的最小值和最大值。

2生成初始的拉丁超立方设计。

3计算初始设计的熵，作为当前的最大熵。

4进行优化迭代，每次迭代都会生成一个新的设计并计算其熵。

5在每次迭代中，对于每个样本点，通过随机重分配来生成一个新的位置。这可以通过交换两个样本点的位置或在样本点的范围内随机选择一个新的位置来实现。

6根据约束条件调整新设计中的样本点位置，以确保其符合变量的范围和约束条件。

7计算新设计的熵。

8如果新设计的熵大于当前最大熵，则接受新设计为当前最优设计；否则，保留之前的设计。

9重复步骤 4-8，直到达到指定的迭代次数或满足停止条件。

% 设置变量范围和样本数量
rangeX = [0 1]; % X 变量范围
rangeY = [0 1]; % Y 变量范围
numSamples = 20; % 样本数量

% 最大熵法生成拉丁超立方设计
design = maxEntropyLHD(numSamples, 2);

% 将设计映射到指定的变量范围
samplesX = design(:, 1) * (rangeX(2) - rangeX(1)) + rangeX(1);
samplesY = design(:, 2) * (rangeY(2) - rangeY(1)) + rangeY(1);

% 绘制二维图
scatter(samplesX, samplesY, 'filled');
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Optimized Latin Hypercube Design using Maximum Entropy');

% 最大熵法生成优化的拉丁超立方设计函数
function design = maxEntropyLHD(numSamples, numVariables)
    design = lhsdesign(numSamples, numVariables);
    
    % 进行最大熵法优化
    for i = 1:numVariables
        col = design(:, i);
        col = -log(1 - col);
        col = (col - min(col)) / (max(col) - min(col));
        design(:, i) = col;
    end
end

3.5 模拟退火算法优化

通过模拟退火算法的迭代优化过程，可以逐步改善拉丁超立方设计的质量。随着温度的降低，算法倾向于接受差异更小的解，从而逐渐收敛到较优的设计。
1初始化初始解：生成一个初始的拉丁超立方设计作为当前解。

2设置初始温度和退火策略：确定初始温度和退火策略，例如初始温度较高，退火过程中温度逐渐降低。

3迭代优化过程：在每次迭代中，根据当前温度选择一个相邻解。相邻解可以通过随机扰动当前解的样本点位置或执行优化操作得到，例如交换两个样本点的位置。

4计算当前解和相邻解的差异或成本函数：计算当前解和相邻解之间的差异或成本函数值。差异可以是样本点之间的距离、线性相关性等度量。

5根据差异和当前温度计算接受该差异的概率：根据差异和当前温度计算接受相邻解的概率。一般而言，如果差异更小或当前温度较高，则接受相邻解的概率较高。

6根据概率接受或拒绝相邻解：根据概率接受或拒绝相邻解。如果接受相邻解，则将其作为当前解；否则保持当前解不变。

7降低温度：按照退火策略降低温度，例如减小温度的比例或根据迭代次数调整温度。

重复步骤 3-7，直到满足停止条件（例如达到最大迭代次数或温度低于某个阈值）。

% 设置变量范围和样本数量
rangeX = [0 1]; % X 变量范围
rangeY = [0 1]; % Y 变量范围
numSamples = 20; % 样本数量

% 模拟退火算法生成优化的拉丁超立方设计
design = simulatedAnnealingLHD(numSamples, 2, rangeX, rangeY);

% 绘制二维图
scatter(design(:,1), design(:,2), 'filled');
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Optimized Latin Hypercube Design using Simulated Annealing');

% 模拟退火算法生成优化的拉丁超立方设计函数
function design = simulatedAnnealingLHD(numSamples, numVariables, rangeX, rangeY)
    % 初始化设计
    design = lhsdesign(numSamples, numVariables);
    
    % 定义能量函数
    function energy = energyFunction(design)
        % 将设计映射到变量范围
        samplesX = design(:, 1) * (rangeX(2) - rangeX(1)) + rangeX(1);
        samplesY = design(:, 2) * (rangeY(2) - rangeY(1)) + rangeY(1);
        
        % 计算设计的能量（距离的总和）
        distances = pdist([samplesX, samplesY]);
        energy = sum(distances);
    end

    % 进行模拟退火优化
    initialEnergy = energyFunction(design);
    currentDesign = design;
    currentEnergy = initialEnergy;
    
    temperature = 1;
    coolingRate = 0.95;
    
    while temperature > 1e-8
        % 随机选择两个变量进行交换
        i = randi([1, numSamples]);
        j = randi([1, numSamples]);
        
        newDesign = currentDesign;
        newDesign([i j], :) = newDesign([j i], :);
        newEnergy = energyFunction(newDesign);
        
        % 根据 Metropolis 准则接受或拒绝新设计
        if newEnergy < currentEnergy
            currentDesign = newDesign;
            currentEnergy = newEnergy;
        else
            acceptanceProbability = exp((currentEnergy - newEnergy) / temperature);
            if rand < acceptanceProbability
                currentDesign = newDesign;
                currentEnergy = newEnergy;
            end
        end
        
        % 降低温度
        temperature = temperature * coolingRate;
    end
    
    % 返回优化后的设计
    design = currentDesign;
end

3.6 减小线性相关性的均值优化

RLCMO）是一种优化方法，用于改进拉丁超立方设计的均匀性和相关性。它的目标是通过调整拉丁超立方设计的样本点位置，使得设计中样本点之间的线性相关性尽可能小，从而达到更好的均匀分布。
RLCMO的具体步骤如下：

1首先，生成一个初始的拉丁超立方设计。

2计算设计矩阵的条件数，衡量当前设计的线性相关性。

3进行优化迭代，每次迭代都会生成一个新的设计并计算其条件数。

4在每次迭代中，对于每个样本点，通过随机重分配来生成一个新的位置。这可以通过交换两个样本点的位置或在样本点的范围内随机选择一个新的位置来实现。

5根据约束条件调整新设计中的样本点位置，以确保其符合变量的范围和约束条件。

6计算新设计的条件数。

7如果新设计的条件数小于当前条件数，则接受新设计为当前最优设计；否则，根据一定概率接受新设计。

8重复步骤 3-7，直到达到指定的迭代次数或满足停止条件。

% 设置变量范围和样本数量
rangeX = [0 1]; % X 变量范围
rangeY = [0 1]; % Y 变量范围
numSamples = 20; % 样本数量

% 减小线性相关性的均值优化生成拉丁超立方设计
design = reduceCorrelationLHD(numSamples, 2);

% 将设计映射到指定的变量范围
samplesX = design(:, 1) * (rangeX(2) - rangeX(1)) + rangeX(1);
samplesY = design(:, 2) * (rangeY(2) - rangeY(1)) + rangeY(1);

% 绘制二维图
scatter(samplesX, samplesY, 'filled');
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Optimized Latin Hypercube Design with Reduced Correlation');

% 减小线性相关性的均值优化生成拉丁超立方设计函数
function design = reduceCorrelationLHD(numSamples, numVariables)
    design = lhsdesign(numSamples, numVariables);
    
    % 减小线性相关性的均值优化
    for i = 1:numVariables
        col = design(:, i);
        col = col - mean(col);
        design(:, i) = col;
    end
end

3.7 贪心策略的优化方法

贪心策略是一种基于局部最优选择的优化方法，可用于优化拉丁超立方设计。该方法通过逐步选择和调整样本点的位置，以最大程度地改善设计的均匀性和相关性。

贪心策略的基本思想是从初始设计开始，逐个样本点进行优化调整，以改善设计的特性。具体步骤如下：
总之，距离最小化是优化拉丁超立方设计的常用方法，并在大多数情况下能够产生令人满意的均匀分布结果。
1生成初始的拉丁超立方设计。

2对于每个样本点，按照某种规则选择一个最优的位置进行调整。这里需要定义一个评价指标来衡量每个位置的优劣，例如可以使用距离指标或相关性指标。

3对于选择的最优位置，将当前样本点移动到该位置，并更新设计矩阵。

4重复步骤 2-3，直到所有样本点都进行了优化调整。

5对最终的优化设计进行评估，检查均匀性和相关性是否得到改善。如果需要进一步优化，可以重新开始从步骤 2 开始，或者使用其他优化方法进行迭代改进。

% 贪心策略生成优化的拉丁超立方设计函数
function design=lhs(rangeX,rangeY,rangeZ,rangeW,numSamples,iterCount)
% 贪心策略生成优化的拉丁超立方设计
design = greedyOptimizationLHD(numSamples, 4, rangeX, rangeY, rangeZ, rangeW, iterCount);

% 打印优化后的设计样本点
disp(design);
end


% 贪心策略生成优化的拉丁超立方设计函数
function design = greedyOptimizationLHD(numSamples, numVariables, rangeX, rangeY, rangeZ, rangeW, iterCount)
    % 生成初始的拉丁超立方设计
    design = lhsdesign(numSamples, numVariables);
    
    % 将设计映射到变量范围
    samplesX = design(:, 1) * (rangeX(2) - rangeX(1)) + rangeX(1);
    samplesY = design(:, 2) * (rangeY(2) - rangeY(1)) + rangeY(1);
    samplesZ = design(:, 3) * (rangeZ(2) - rangeZ(1)) + rangeZ(1);
    samplesW = design(:, 4) * (rangeW(2) - rangeW(1)) + rangeW(1);
    
    % 计算初始设计的适应度
    initialFitness = calculateFitness(samplesX, samplesY, samplesZ, samplesW);
    
    % 迭代改进设计
    for iter = 1:iterCount
        % 随机选择一个样本点
        index = randi(numSamples);

        % 保存上一轮迭代的样本点
        prevX = samplesX(index);
        prevY = samplesY(index);
        prevZ = samplesZ(index);
        prevW = samplesW(index);
        
        % 随机生成新的样本点
        newX = rand * (rangeX(2) - rangeX(1)) + rangeX(1);
        newY = rand * (rangeY(2) - rangeY(1)) + rangeY(1);
        newZ = rand * (rangeZ(2) - rangeZ(1)) + rangeZ(1);
        newW = rand * (rangeW(2) - rangeW(1)) + rangeW(1);
        
        % 替换选中的样本点
        samplesX(index) = newX;
        samplesY(index) = newY;
        samplesZ(index) = newZ;
        samplesW(index) = newW;
        
        % 计算新设计的适应度
        newFitness = calculateFitness(samplesX, samplesY, samplesZ, samplesW);
        
        % 如果新设计的适应度更好，则接受新设计
        if newFitness > initialFitness
            initialFitness = newFitness;
        else
            % 恢复原来的样本点
            samplesX(index) = design(index, 1) * (rangeX(2) - rangeX(1)) + rangeX(1);
            samplesY(index) = design(index, 2) * (rangeY(2) - rangeY(1)) + rangeY(1);
            samplesZ(index) = design(index, 3) * (rangeZ(2) - rangeZ(1)) + rangeZ(1);
            samplesW(index) = design(index, 4) * (rangeW(2) - rangeW(1)) + rangeW(1);

            samplesX(index) = prevX;
            samplesY(index) = prevY;
            samplesZ(index) = prevZ;
            samplesW(index) = prevW;
        end
    end
    
    % 更新最终的设计,是有每轮更新的,这种是做了归一化处理的
    design(:, 1) = (samplesX - rangeX(1)) / (rangeX(2) - rangeX(1));
    design(:, 2) = (samplesY - rangeY(1)) / (rangeY(2) - rangeY(1));
    design(:, 3) = (samplesZ - rangeZ(1)) / (rangeZ(2) - rangeZ(1));
    design(:, 4) = (samplesW - rangeW(1)) / (rangeW(2) - rangeW(1));

    design(:, 1) = samplesX;
    design(:, 2) = samplesY;
    design(:, 3) = samplesZ;
    design(:, 4) = samplesW;
end

% 计算设计的适应度
function fitness = calculateFitness(samplesX, samplesY, samplesZ, samplesW)
    % 计算设计的适应度（距离的总和的倒数）
    distances = pdist([samplesX, samplesY, samplesZ, samplesW]);
    fitness = 1 / sum(distances);
end

这段代码实现了使用贪心策略生成优化的拉丁超立方设计。下面是代码的解释和功能：

rangeX 和 rangeY 是 X 和 Y 变量的范围。
numSamples 是要生成的样本数量。
design = greedyOptimizationLHD(numSamples, 2, rangeX, rangeY); 调用 greedyOptimizationLHD 函数生成优化的拉丁超立方设计。
scatter(design(:,1), design(:,2), ‘filled’); 绘制二维图，显示生成的设计点。
greedyOptimizationLHD 函数实现了贪心策略生成优化的拉丁超立方设计的过程。
首先，它使用 lhsdesign 函数生成初始的拉丁超立方设计。
然后，将设计映射到指定的变量范围。
接下来，计算初始设计的适应度，这里适应度定义为距离的总和的倒数。
迭代地改进设计，每次迭代随机选择一个样本点，随机生成一个新的样本点，并替换选中的样本点。如果新设计的适应度更好，则接受新设计；否则，恢复原来的样本点。
最后，更新最终的设计并返回。
calculateFitness 函数计算设计的适应度。这里适应度定义为距离的总和的倒数，距离最小化是优化拉丁超立方设计的常用方法。
请注意，代码中的迭代次数设为了100次，这是一个可调整的参数，可以根据具体情况进行调整。另外，设计的适应度计算方法也可以根据需要进行修改。

是的，在这个代码中，适应度的计算是基于样本点之间距离的总和。因此，距离的总和越小，适应度越高，代表着样本点的分布越均匀。

通过最小化样本点之间的距离总和，可以使样本点在整个变量范围内均匀地分布。这是优化拉丁超立方设计的常用方法之一，并且在大多数情况下能够产生令人满意的结果。

当样本点之间的距离较小时，它们更接近均匀分布。这可以确保对设计空间的整体覆盖，并减少样本点之间的冗余。这样的设计可以更好地代表变量范围内的潜在特征，以及对实验或优化问题的解空间进行探索。

如果您的问题域在不同维度上具有不同的范围，并且这些范围之间差异较大，我建议使用归一化的设计结果。归一化可以将不同维度的范围统一到 [0, 1] 的范围内，使得不同维度之间的变化具有相对一致的尺度。

使用归一化的设计结果有以下优点：

统一尺度：归一化可以消除不同维度之间的尺度差异，确保它们具有相对一致的范围。这样，您可以更方便地比较和权衡不同维度之间的影响。
可复用性：归一化的设计结果可以更容易地与其他模型、算法或方法集成。您可以使用相同的归一化范围将设计输入到其他模型中，而无需进行额外的缩放操作。
易解释性：归一化的设计结果更易于理解和解释，因为它们处于统一的范围内。您可以直接使用归一化的值，而不必考虑每个维度的实际范围。
因此，如果您的问题涉及到多个维度，并且这些维度具有不同的范围，我建议使用归一化的设计结果。这样可以更好地处理不同维度之间的尺度差异，并更方便地进行后续分析和应用。