BZOJ 3157: 国王奇遇记 (数学)

题面：BZOJ3157

一句话题意：

求：

\[ \sum_{i=1}^ni^m\ \times m^i\ (mod\ 1e9+7)\ \ (n \leq 1e9,m\leq200)\]

题解

令

\[ DP[i]=\sum_{k=1}^n k^i*m^k \]

则

\[ (m-1)DP[i]=mDP[i]-DP[i] \]
\[ =\sum_{k=1}^{n}k^im^{k+1}-\sum_{k=1}^nk^im^k \]
\[ =\sum_{k=2}^{n+1}(k-1)^im^k-\sum_{k=1}^nk^im^k \]
\[ =n^n m^{n+1}+\sum_{k=1}^nm^k*((k-1)^i-k^i) \]

由二项式反演得

\[ =n^im^{n+1}+\sum_{k=1}^n \sum_{j=1}^{i-1}(-1)^{i-j}*C_i^j\ k^jm^k\]
\[ =n^im^{n+1}+\sum_{j=0}^{i-1}(-1)^{i-j}*C_i^j\times DP[j] \]

于是就可以\(O(m^2log(mod))\)递推了！

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

namespace Tzh{
    
    typedef long long ll;
    const int maxm=210;
    const ll p=1e9+7;
    ll n,m,dp[maxm],c[maxm][maxm];
    
    ll qpow(ll a,ll b){
        ll sum=1;
        while(b){
            if(b&1) sum=sum*a%p;
            a=a*a%p; b>>=1; 
        }
        return sum;
    }
    
    void init(){c[0][0]=1;
        for(int i=1;i<=m;i++){c[i][0]=1;
            for(int j=1;j<=i;j++)
                c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%p;  
        }
    }
    
    void work(){
        scanf("%lld%lld",&n,&m); init();
        if(m==1){
            printf("%lld",(n+1)*n/2%p);
            return ;    
        }
        dp[0]=(qpow(m,n+1)-m+p)%p*qpow(m-1,p-2)%p;
        for(int i=1;i<=m;i++){
            dp[i]=qpow(n,i)*qpow(m,n+1)%p;
            for(int j=0;j<i;j++)
                dp[i]=(dp[i]+p+((i-j)&1?-1:1)*c[i][j]*dp[j]%p)%p;
            dp[i]=dp[i]*qpow(m-1,p-2)%p;
        }
        printf("%lld",dp[m]);
        return ;    
    }
}

int main(){
    Tzh::work();
    return 0;   
}