[BZOJ 4173]数学

一、题目

二 、解法

又到了欢乐推式子时间，先推那个判断式（本文所有除法均为整除）：
$m\%k+n\%k\geq k$ $m-\frac{m}{k}k+n-\frac{n}{k}k\geq k$ $\frac{n+m}{k}-\frac{m}{k}-\frac{n}{k}\geq1$由于 $0\leq\frac{n+m}{k}-\frac{m}{k}-\frac{n}{k}\leq1$，所以可以直接把上面的值当成判断式来用，也就是说，我们现在要求这东西：
$\phi(n)\phi(m)\sum_{k=1}^{n+m}(\frac{n+m}{k}-\frac{m}{k}-\frac{n}{k})\phi(k)$可以把上面的问题分解成三个差不多的子问题，我们继续推式子：
$\sum_{k=1}^n\frac{n}{k}\phi(k)=\sum_{k=1}^n\sum_{d|k}\phi(k)=\sum_{k=1}^n k$推出来了一个优美的求和，所以原式 $=nm$（三个求和再推下就完了），最后的答案为 $\phi(n)\phi(m)nm$。都推到这一步了，代码就不给了吧qwq。