数学

题解

~~一道结论题，虽说是暴搜找的规律，但还是讲一下正解。~~

显然，原式的条件可以进一步化简。

$\left [ m\, mod\, k + n\, mod \, k\geq k \right ]$

$= \left [m- \left \lfloor \frac{m}{k} \right \rfloor k+ n- \left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor k \geq k\right ]$

$= \left [\left \lfloor \frac{n+m}{k} \right \rfloor - \left \lfloor \frac{m}{k} \right \rfloor - \left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor \geq 1 \right ]$

但是我们知道 $0 \leq \left \lfloor \frac{n+m}{k} \right \rfloor - \left \lfloor \frac{m}{k} \right \rfloor - \left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor \leq 1$ ，

所以可以得到 $\left \lfloor \frac{n+m}{k} \right \rfloor - \left \lfloor \frac{m}{k} \right \rfloor - \left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor = 1$ 。

现在需要去计算形如 $\sum_{k=1}^{n}\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor \phi (k)$ 。

$\sum _{k=1}^{n} k= \sum_{k=1}^{n} \sum_{d|k} \phi (d)= \sum_{d=1}^{n} \phi (d)\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor$ 。

因而 $\sum_{k=1}^{n+m} \left \lfloor \frac{n+m}{k} \right \rfloor \phi (k) - \sum_{k=1}^{n} \left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor \phi (k)- \sum_{k=1}^{m} \left \lfloor \frac{m}{k} \right \rfloor \phi (k)= nm$ 。

所以答案为 $\phi (n) \phi (m)nm$

源码

很少啦。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long LL; 
#define int LL
const int mo=998244353;
#define gc() getchar()
template<typename _T>
inline void read(_T &x){
	_T f=1;x=0;char s=gc();
	while(s>'9'||s<'0'){if(s=='-')f=-1;s=gc();}
	while(s>='0'&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=gc();}
	x*=f;
}
int n,m,k;
int ouler(int x){
	int res=x;
	for(int i=2;i*i<=x;i++)
		if(x%i==0){
			res-=res/i;
			while(x%i==0)x/=i;
		}
	if(x>1)res-=res/x;
	return res%mo;
}
signed main(){
	read(n);read(m);
	printf("%lld\n",((n%mo)*(m%mo))%mo*ouler(n)%mo*ouler(m)%mo); 
    return 0;
}

谢谢！！！

Tan_tan_tann

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