【算法 -- LeetCode】（022） 括号生成

1、题目

数字 n 代表生成括号的对数，请你设计一个函数，用于能够生成所有可能的并且 有效的 括号组合。

示例 1：

输入：n = 3
输出：[“((()))”,“(()())”,“(())()”,“()(())”,“()()()”]

示例 2：

输入：n = 1
输出：[“()”]

题目链接：https://leetcode.cn/problems/generate-parentheses

2、图解

第 1 步：定义状态 dp[i]

使用 i 对括号能够生成的组合。

注意：每一个状态都是列表的形式。

第 2 步：状态转移方程：

• i 对括号的一个组合，在 i - 1 对括号的基础上得到；
• i 对括号的一个组合，一定以左括号 “(” 开始（不一定以 “)” 结尾），为此，我们可以枚举右括号 “)” 的位置，得到所有的组合；
• 枚举的方式就是枚举左括号 “(” 和右括号 “)” 中间可能的合法的括号对数，而剩下的合法的括号对数在与第一个左括号 “(” 配对的右括号 “)” 的后面，这就用到了以前的状态。

状态转移方程是：

dp[i] = "(" + dp[可能的括号对数] + ")" + dp[剩下的括号对数]

• “可能的括号对数” 与 “剩下的括号对数” 之和得为 i，故“可能的括号对数” j 可以从 0 开始，最多不能超过 i， 即 i – 1；
• “剩下的括号对数” + j = i – 1，故 “剩下的括号对数” = i – j – 1。
  整理得：

dp[i] = "(" + dp[j] + ")" + dp[i- j - 1] , j = 0, 1, ..., i - 1

第 3 步：思考初始状态和输出：

初始状态：因为我们需要 0 对括号这种状态，因此状态数组 dp 从 0 开始，0 个括号当然就是 [“”]。
输出：dp[n] 。
这个方法暂且就叫它动态规划，这么用也是很神奇的，它有下面两个特点：

1、自底向上：从小规模问题开始，逐渐得到大规模问题的解集；

2、无后效性：后面的结果的得到，不会影响到前面的结果。

3、Java 示例代码

class Solution {
    
    
    public List<String> generateParenthesis(int n) {
    
    
        if (n == 0) {
    
    
            return new ArrayList<>();
        }
        // 这里 dp 数组我们把它变成列表的样子，方便调用而已
        List<List<String>> dp = new ArrayList<>(n);

        List<String> dp0 = new ArrayList<>();
        dp0.add("");
        dp.add(dp0);

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
            List<String> cur = new ArrayList<>();
            for (int j = 0; j < i; j++) {
    
    
                List<String> str1 = dp.get(j);
                List<String> str2 = dp.get(i - 1 - j);
                for (String s1 : str1) {
    
    
                    for (String s2 : str2) {
    
    
                        // 枚举右括号的位置
                        cur.add("(" + s1 + ")" + s2);
                    }
                }
            }
            dp.add(cur);
        }
        return dp.get(n);
    }
}

执行结果：