牛顿迭代法介绍

牛顿迭代法主要用于求解对于不便于计算的非线性方程实根的问题，利用牛顿迭代法求出近似解。

原理介绍

对于非线性方程 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 附近进行Tayor展开：

$f(x) = f({x_0}) + (x - {x_0}){f^{(1)}}({x_0}) + {(x - {x_0})^2}\frac{{{f^{(2)}}({x_0})}}{{2!}} + ....$

取其线性部分作为非线性方程 $f(x)$ = 0的近似方程

$f(x) = f({x_0}) + (x - {x_0}){f^{(1)}}({x_0})$

设 ${f^{(1)}}({x_0}) \ne 0$ ，则解为：

${x_1} = {x_0} - \frac{{f({x_0})}}{{{f^{(1)}}({x_0})}}$

再把 $f(x)$ 在 $x_{1}$ 附近展开Tayor级数，取其线性部分作为 $f(x)$ = 0的近似方程，若 ${f^{(1)}}({x_1}) \ne 0$ ，则有：

${x_2} = {x_1} - \frac{{f({x_1})}}{{{f^{(1)}}({x_1})}}$

如此可以推导出Newton法：

${x_{n + 1}} = {x_n} - \frac{{f({x_n})}}{{{f^{(1)}}({x_n})}}$

实际应用举例

为了更好理解牛顿迭代法，利用求解 $y = {x^3} + {e^x}$ 方程根进行举例

求导方程为： $y = 3{x^2} + {e^x}$

C++代码实现

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
//实例：y=x^3+e^x
double x;        //定义变量x
double X;        //临时变量，记录第k次的x值,用于判断精度，第k次与第k+1次做差比较精度             
double y(double x)          //定义关于x的表达式
{
	return -x*x*x + exp(x);
}
double dy(double x)         //定义导数公式
{
	return -3 * x*x + exp(x);
}

bool accuracy(double x0)
{
	if (fabs(X - x0) > 1e-5)          //定义精度10的负5次方
	{
		return 1;
	}
	else
		return 0;
}
void ND(double x0)    //牛顿迭代法
{  
	int n = 0;            //记录迭代次数
	do{
		double _y = y(x0);
		double _dy = dy(x0);
		X = x0;
		x0 = x0 - _y / _dy;
		n++;
		cout << "第" << n << "次迭代结果为：" ;
		printf("%.5f\n", x0);
	} while (accuracy(x0));
	cout << "共迭代" << n << "次，最终近似解为：" ;
	printf("%.5f\n", x0);
}

void main()
{
	x = 4.5;    //定义x0初始值
	ND(x);
}

故由此可知，函数 $y = {x^3} + {e^x}$ 函数近似解为4.53640

补充优化

在实际求解非线性放出实根时，部分方程可能会出现求导困难的情况，故可以利用差商代替求导，则公式为：

${x_{n + 1}} = {x_n} - \frac{{f({x_n})}}{{f({x_n}) - f({x_{n - 1}})}}({x_n} - {x_{n - 1}})$

C++代码为：

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;

//实例：y=x^3+e^x
double x;        //定义变量x
double X;        //临时变量，记录第k次的x值,用于判断精度，第k次与第k+1次做差比较精度             
double y(double x)          //定义关于x的表达式
{
	return -x*x*x + exp(x);
}

bool accuracy(double x0)
{
	if (fabs(X - x0) > 1e-5)          //定义精度10的负5次方
	{
		return 1;
	}
	else
		return 0;
}
void ND_optimize(double x1,double x0)    //牛顿迭代法差商改进
{
	double _y1 = y(x0);
	double _y2 = y(x1);
	int n = 0;            //记录迭代次数
	do{
		double _y1 = y(x0);
		double _y2 = y(x1);

		X = x0;
		x0 = x0 - (_y1 / (_y1-_y2)) * (x0-x1);
		n++;
		cout << "第" << n << "次迭代结果为：";
		printf("%.5f\n", x0);
	} while (accuracy(x0));
	cout << "共迭代" << n << "次，最终近似解为：";
	printf("%.5f\n", x0);
}

void main()
{
	double x1 = 4.5;    //定义x1初始值
	double x2 = 4;      //定义x2初始值
	ND_optimize(x1,x2);
}

牛顿迭代法及其实际应用（附C++代码）