Sqrtx——python——牛顿迭代法详解

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实现 int sqrt(int x) 函数。
计算并返回 x 的平方根，其中 x 是非负整数。
由于返回类型是整数，结果只保留整数的部分，小数部分将被舍去。
示例 1:
输入: 4
输出: 2
示例 2:
输入: 8
输出: 2
说明: 8 的平方根是 2.82842…,
由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。
Implement int sqrt(int x).
Compute and return the square root of x.
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我们要求$x^2=a$ 就是求$x^2-a=0$的解，且x为非负数。
解决Sqrt求平方根可以采取牛顿迭代法，下面简单介绍一下牛顿迭代法，更多的可以自己搜搜。
在曲线上随便找一个的A点，（事先不知道根点就是解在那儿，所以随便找一个点），做一个切线，切线的根（就是和x轴的交点）与曲线的根，存在一定的距离。可以从这个切线的根出发，做一根垂线，和曲线相交于B点，继续重复刚才的工作：可以发现

B点比之前A点更接近曲线的根点。那么经过多次迭代后会越来越接近曲线的根。
已知曲线方程$f(x)$,在$x_{n}$点做切线，求$x_{n+1}$:

$x_{n}$点的切线方程为：$f(x_{n})+f^{'}(x_{n})(x-x_{n})$。
要求$x_{n+1}$,就求$f(x_{n})+f^{'}(x_{n})(x-x_{n})= 0$的解。
可以得到$f(x_{n})+f^{'}(x_{n+1})(x-x_{n})= 0$ $=>$$x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f^{'}(x_{n})}$；
我们将$x_{n+1}$代入到$x^2-a=0$中，可以得到一个比$x_{n+1}$更接近与方程的根点（解），多次迭代就可以得到一个近似于$\sqrt{a}$的$x$。 即

$$x=\frac{(x_{n}+\frac{a}{x_{n}})}{2}$$
所以代码就如下所示

class Solution(object):
    def mySqrt(self, x):
        """
        :type x: int
        :rtype: int
        """
        result = 1.0
        while abs(result * result - x) > 0.1:
            result = (result + x / result) / 2
        return int(result)

至于如何设计逼近的程度，取决于设置的精度。如0.1…..等。
但是如何确定B点就比A点更接近与根点。可以就这题而言，做差最简单。

$$|x_{n}-\frac{(x_{n}+\frac{a}{x_{n}})}{2}|-|x_{n+1}-\frac{(x_{n}+\frac{a}{x_{n}})}{2}|>0$$
$$x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f^{'}(x_{n})}$$
就可以得出！

ps：这题虽然简单，但是确实让我好学了一把牛顿迭代法！