三次方根
（cube.pas/c/cpp）
【问题描述】
自从在第2题中老师们的工作积极性提高以来，以Fengzee为首的学生们苦不堪言，因为老师给他们留了太多的作业，有些作业甚至是几乎无法完成的。这次，数学老师布置下了10道开三次方的作业题，要求同学们笔算完成。Fengzee当然不会花时间做这种没用的工作，他又没有计算器。这样的工作应当由电脑来完成，这就需要你编程序来解决。
你的输入文件中只含有一个实数n，是待开三次方的数字。你的任务是计算这个数的三次方根，并输出在标准输出文件中。我们有算法设计限制条件：这道题的主要运算过程，你必须自己在程序中设计，且评测时使用的编译器已经去掉头文件math.h，就是说，你不能使用这个头文件中提供的一切函数。你只需要在文件中写入结果，不要加任何额外的文字。在满足算法设计限制条件的前提下，你的答案只需与标准答案相差不超过0.001，你即可得到全部的分数；而且你输出的数字的小数位数不受限制(小数点保留六位)。
【输入文件】输入文件cube.in
输入文件中只含有一个实数n，是待开三次方的数字。
【输出文件】输出文件cube.out
数n的三次方根。
【样例输入】
9
【样例输出】
2.08008
【数据规模】
-10000<=n<=10000
一般实现
二分逼近法 （同学友爱的代码~）
#include <cstdio> #include <iostream> #include <algorithm> #define eps 1e-8 using namespace std; double n; double fun(double mid) {return mid*mid*mid<n?1:0;} int main() { cin>>n; double l=0,r=n,mid; if(n<0) swap(l,r); while(r-l>eps){ //当精度未达到1e-8即10-8时，二分逼近 mid=(l+r)/2; if(fun(mid)) l=mid; //小的话 else r=mid; } printf("%.6f\n",r); }
然而我并没有想到这一点
反而想起牛顿老人家了
我要在巨人的肩膀上干事！！（其实是我蠢 =6=..）
没错 牛顿迭代法
定义 一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法 --摘自百度
原理 不断用(x,f(x))的切线来逼近方程的根
递推公式
（证明过程可详见百度）
加深理解可以参考 如何通俗易懂的讲解牛顿迭代法
有了这个我们可以干什么呢。
当然是去解方程啦
求解步骤：
1. 原函数： f(x)=xm-af
2. 原函数的导函数： f'(x)=mxm-1f
3. 使用牛顿迭代公式
可得
xn+1=xn−f
对于本题而言 可以看成解方程 x^3=a
代入公式可得 xn+1=(xn-x3-a)/3xn2
如此自定义一个函数就好了
注意：牛顿法只能逼近解，不能计算精确解。不过实际应用中，我们都不要求绝对精确的解，只要精度足够高就好了 （所以此题我 wrong 了。）
#include <iostream> #include <cstdio> using namespace std; int mabs(int a) { if(a<0) a=-a; return a; } double sqrt(double c) { double err = 1e-7; //设立精度 double t = c; while (mabs(c - t*t*t) > err) t = 0.66667*t+c/(3.000*t*t); //三次方的递推公式 return t; } int main() { int n; cin>>n; printf("%.6lf",sqrt(n)); return 0; }
输入值 9 输出值2.099878 误差有点大。
不过可以通过调参数来调整
同样的利用牛顿迭代法可以推导到一般情况，大家可以尝试一下。