树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。

有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点；

除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti (1<= i <= m) 又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继因此，树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。

前两颗树都出现了相交情况，所以不是树的结构，最后一个没有相交，因此是一棵树。

2、树的相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6；

叶节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点；

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点；

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点；

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6；

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4；

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先；

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙；

3、树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法 等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{
     struct Node* _firstChild1;   // 第一个孩子结点
     struct Node* _pNextBrother;  // 指向其下一个兄弟结点
     DataType _data;              // 结点中的数据域
};

如下图所示：

二、二叉树概念及结构

1、二叉树的概念

二叉树是一种特殊的树，其特点就是每个结点最多有两棵子树（即二叉树中不存在度大于2的结点），二叉树是 n (n>=0)个结点的有限集合：

二叉树为空；

由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2、特殊二叉树

满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是，则它就是满二叉树。

完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K 的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。(其实就是前N-1层是满的，最后一层可以不满，但是必须从左到右连续)

3、二叉树的性质

若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 $2^{i-1}$ 个结点.

若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 $2^{h}-1$ .

对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 $n_{0}$ , 度为2的分支结点个数为 ,则有 $n_{0} = n_{2}+1$ .

若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度, $h=log_{2}(n+1)$ (ps： $log_{2}(n+1)$ 是log以2 为底，n+1为对数).

对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

(1)若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点;

(2)若2i+1<n, 左孩子序号：2i+1, 2i+1 >= n , 否则无左孩子;

(3)若2i+2<n, 右孩子序号：2i+2, 2i+2 >= n , 否则无右孩子;

4、二叉树的存储结构

4.1 顺序存储结构

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

4.2 链式存储结构

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
     struct BinTreeNode* _pLeft;  // 指向当前节点左孩子
     struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
     BTDataType _data;            // 当前节点值域
}
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{
     struct BinTreeNode* _pParent; // 指向当前节点的双亲
     struct BinTreeNode* _pLeft;   // 指向当前节点左孩子
     struct BinTreeNode* _pRight;  // 指向当前节点右孩子
     BTDataType _data;             // 当前节点值域
}；

三、二叉树顺序结构及实现

1、二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

2、堆的概念及结构

对于一个连续数组，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一个一维数组中，并满足所有的父亲结点都大于（小于）它的孩子结点，则称为大堆(或小堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆的性质：

(1)堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；

(2)堆总是一棵完全二叉树。

3、堆的实现

3.1 堆的结构与声明

堆的结构，它是用数组来实现的。堆的结构体中还包含了堆的数据大小，及堆的容量大小。

typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
	HPDataType* a;  
	int size;      
	int capacity;   
}Heap;

3.2 堆的向下调整算法

思路：因为本文是建的小堆，如果parent > child ，就互换位置。

首先要找到 child ，根据上面图片中孩子和父亲下标的对应关系就能找到，然后要确保 child < n(n代表数组的大小)，在循环体内部，默认指的是左孩子，经过确保右孩子存在且右孩子小于左孩子，++child 就跳转到右孩子，接下来就可以正常比较孩子节点和父亲节点的大小，在进行交换。

void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{
	HPDataType tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)//n为数组的大小
{
	int child = parent * 2 + 1;//左孩子
	while (child < n)
	{
		//确认child指向小的那个孩子
		if (child + 1 < n && a[child + 1] < a[child])//child+1 < n 右孩子存在的情况且右孩子更小
		{
			++child;//默认指向左孩子，++child就指向右孩子
		}
		//(小堆) 父亲大于孩子，交换，继续向下调整
		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;//父亲小于孩子，跳出循环
		}
	}
}

3.3 堆的向上调整算法

思路：因为本文建的是小堆，如果 child < parent 时，就向上进行交换。

首先要找到它的父亲，然后要保证 child > 0 ，才能够进入循环，进行parent 和 child 的比较。

void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{
	HPDataType tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}
void Adjustup(HPDataType* a, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)
	{
		//小堆
		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

3.4 堆的创建

建堆的时间复杂度为O(N)。

void HeapCreate(Heap* php, HPDataType* a, int n)
{
	assert(php);
	//扩容
	php->a = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType) * n);
	if (php->a == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		exit(-1);
	}
	memcpy(php->a, a, sizeof(HPDataType) * n);
	php->size = php->capacity = n;
	//建堆算法
	for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; --i)
	{
		AdjustDown(php->a, n, i);
	}
}

3.5 堆的初始化

void HeapInit(Heap* php)
{
	assert(php);
	php->a = NULL;
	php->size = php->capacity = 0;
}

3.6 堆的插入

思路：因为堆的存储结构是数组，所以堆的插入是在尾部插入，然后向上调整，直至最后成为小堆。假设在尾部插入一个元素10。

void HeapPush(Heap* php, HPDataType x)
{
	assert(php);
	//扩容
	if (php->size == php->capacity)
	{
		int newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
		HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, sizeof(HPDataType) * newCapacity);
		if (tmp == NULL)
		{
			perror("realloc fail");
			exit(-1);
		}
		php->a = tmp;
		php->capacity = newCapacity;
	}
	php->a[php->size] = x;
	php->size++;
	//堆向上调整
	Adjustup(php->a, php->size - 1);
}

3.7 堆的删除

思路：删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据根最后一个数据进行交换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整算法。

// 删除堆顶的数据，并且保持它继续是一个堆 O(logN)
void HeapPop(Heap* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);

	Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
	php->size--;
	//堆向下调整
	AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

3.8 堆顶元素数据

HPDataType HeapTop(Heap* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);
	return php->a[0];
}

3.9 堆的数据个数

int HeapSize(Heap* php)
{
	assert(php);
	return php->size;
}

3.10 堆的销毁

要释放我们建堆时，申请数组的空间，然后将其置为空。

void HeapDestory(Heap* php)
{
	assert(php);
	free(php->a);
	php->a = NULL;
	php->size = php->capacity = 0;
}

3.11 堆的判空

bool HeapEmpty(Heap* php)
{
	assert(php);
	return php->size == 0;
}

4、堆的应用

4.1 堆排序

进行堆排序，首先就是要完成建堆，而堆的类型分为大堆和小堆，这两种堆类型对应着不同排序结构。

建堆：

升序：建大堆

降序：建小堆

利用堆删除思想来进行排序，建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序。

思路：(1)在这建的是大堆，让父亲节点大于孩子节点；

(2)交换根结点与最后一个孩子结点，那么此时最大的结点就来到了堆的最后一位，将堆的元素个数减一，然后在从根结点（刚交换上去的结点）完成向下调整算法。(堆元素个数减一并不是将其删除，只是将它放到数组最后一个位置，然后除去最后一个元素，将剩下的元素继续进行堆排序)。

(3)直到最后两个结点将其完成交换即可完成堆排序。

void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{
	HPDataType tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child < n)
	{
		if (child + 1 < n && a[child + 1] > a[child])
		{
			++child;
		}
		//(大堆)
		if (a[child] > a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}
//堆排序 --- O(N*logN)
void HeapSort(int* a, int n)
{
	//向下调整建堆--- O(N) --- 好一点
	//升序:建大堆
	for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; --i)
	{
		AdjustDown(a, n, i);
	}
	int end = n - 1;
	while (end > 0)
	{
		Swap(&a[0], &a[end]);
		AdjustDown(a, end, 0);
		--end;
	}
}

4.2 TOP-K 问题

TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。

比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。

对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：

1、用数据集合中前K个元素来建堆

前k个最大的元素，则建小堆

前k个最小的元素，则建大堆

2、用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素

将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。

下面来一个实例，在一组10个数字中，找出前三大的数据。(建小堆)

void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{
	HPDataType tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)//n为数组的大小
{
	int child = parent * 2 + 1;//左孩子
	while (child < n)
	{
		if (child + 1 < n && a[child + 1] < a[child])
		{
			++child;
		}
		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}
void HeapCreate(Heap* php, HPDataType* a, int n)
{
	assert(php);
	//扩容
	php->a = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType) * n);
	if (php->a == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		exit(-1);
	}
	memcpy(php->a, a, sizeof(HPDataType) * n);
	php->size = php->capacity = n;
	//先建小堆（3个元素）
	for (int i = (n - 2) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(php->a, n, i);
	}
	//再将剩余7个元素与根结点比较插入
	for (int i = n; i < 10; i++)
	{
		//取前三大元素，建小堆，大于堆顶元素进行交换，判断，调整
		if (a[i] > php->a[0])
		{
			Swap(&a[i], &php->a[0]);
			AdjustDown(php->a, 3, 0);
		}
	}
}
void Test()
{
	int arr[10] = { 6,8,5,2,9,7,4,0,1,3 };
	Heap hp;
	HeapCreate(&hp, arr, 3);
	for (int i = 0; i < 3; i++)
	{
		printf("%d ", hp.array[i]);
	}
	printf("\n");
}

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【数据结构】二叉树（一）

一、树的概念及结构

1、树的概念