一、二叉树的定义
二叉树（Binary Tree）是n(n >= 0)个节点的有限集合，该集合或者空集（称为空二叉树），或者由一个根节点和两颗互不相交的、分别称为根节点的左子树和右子树的二叉树组成；
1.二叉树的特点
- 每个节点最多有两棵子树，所以二叉树中不存在度大于2的节点；不是只有两棵子树，而是最多有；没有子树或者有一棵都是可以的；
- 左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒；即使树中某一个节点只有一棵子树，也要确定是左子树还是右子树；
- 二叉树有五种基本形态：
- 空二叉树
- 只有一个根节点
- 根节点只有左子树
- 根节点只有右子树
- 根节点既有左子树又有右子树
2.特殊二叉树
- 斜树：所有的节点都只有左子树的二叉树叫左斜树；所有的节点都只有右子树的二叉树叫右斜树；
- 满二叉树：在一棵二叉树上，所有的分支节点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上；
- 完全二叉树：对一棵具有n个节点的二叉树按层序编号1，如果编号为i（1 <= i <= n）的节点与同样深度的满二叉树中编号为i的节点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树；满二叉树一定是一棵完全二叉树，但完全二叉树不一定是满的；
- 完全二叉树的性质：
- 叶子节点只能出现在最下两层；
- 最下层的叶子一定集中在左部连续位置；
- 倒数二层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置；
- 如果节点度为1，则该节点只有左孩子，即不存在只有右子树的情况；
- 同样节点数的二叉树，完全二叉树的深度最小；
- 完全二叉树的性质：
二、二叉树的性质
- 1.在二叉树的第i层上最多有2i-1个节点（i >= 1）；
- 2.深度为k的二叉树最多有2k-1个节点（k >= 1）；
- 3.对任何一棵二叉树T，如果其终端节点数为n0，度为2的节点数为n2，则n0 = n2 + 1；
- 4.具有n个节点的完全二叉树的深度为[log2n] + 1([x]表示不大于x的最大整数)；
- 5.如果对一棵有n个节点的完全二叉树（其深度为[log2n] + 1）的按层序编号（从第1层到第[log2n] + 1层，每层从左到右），对任一节点i（1 <= i <= n）有：
- 如果i = 1，则节点i是二叉树的根，无双亲；如果i > 1，则双亲是节点[i/2]；
- 如果2i > n，则节点i无左孩子（节点i为叶子结点）；否则其左孩子是节点2i；
- 如果2i + 1 > n，则节点i无右孩子；否则其右孩子是节点2i + 1；
三、二叉树链式存储
1.二叉树的代码结构
每个节点一个数据域两个指针域，为左孩子和右孩子；
typedef struct BinaryTree {
char data;
struct BinaryTree *lChild, *rChild;
}Node, *pNode;
2.创建二叉树
递归方法，按照前序遍历的顺序创建二叉树；‘#’作为空节点标志；
void CreateTree(pNode &newNode) {
char data;
cout << "请输入节点数据:";
cin >> data;
if('#' == data) {
newNode = NULL;
}
else {
newNode = (pNode)malloc(sizeof(Node));
newNode->data = data;
CreateTree(newNode->lChild);
CreateTree(newNode->rChild);
}
}
3.二叉树遍历方式
前序遍历，建议搭配画图来理解递归，可以直观的体会遍历节点和打印数据的顺序；当遍历节点为空时就返回上一层函数，比如遍历到一个节点是上一个节点的左孩子，那么如果这个节点为空时，那么就返回上一层，继续遍历该上一层节点的右孩子，如果右孩子也为空，那么该节点上一层节点的遍历完成，再返回更上一层节点。。。
void PreOrderShow(Node *bTree) {
if(bTree == NULL)
return;
cout << bTree->data << "\t";
PreOrderShow(bTree->lChild);
PreOrderShow(bTree->rChild);
}
中序遍历，思路大同小异，只不过是先往下遍历左孩子，遇到返回条件时在进行第二步打印该节点；也就是优先打印没有左孩子的节点；
void MidOrderShow(Node *bTree) {
if(bTree == NULL)
return;
MidOrderShow(bTree->lChild);
cout << bTree->data << "\t";
MidOrderShow(bTree->rChild);
}
后续遍历，先打印无孩子节点的数据；
void LastOrderShow(Node *bTree) {
if(bTree == NULL)
return;
LastOrderShow(bTree->lChild);
LastOrderShow(bTree->rChild);
cout << bTree->data << "\t";
}
4.测试
#include<iostream>
#include<cstdlib>
using namespace std;
typedef struct BinaryTree {
char data;
struct BinaryTree *lChild, *rChild;
}Node, *pNode;
void CreateTree(pNode &newNode) {
char data;
cout << "请输入节点数据:";
cin >> data;
if('#' == data) {
newNode = NULL;
}
else {
newNode = (pNode)malloc(sizeof(Node));
newNode->data = data;
CreateTree(newNode->lChild);
CreateTree(newNode->rChild);
}
}
void PreOrderShow(Node *bTree) {
if(bTree == NULL)
return;
cout << bTree->data << "\t";
PreOrderShow(bTree->lChild);
PreOrderShow(bTree->rChild);
}
void MidOrderShow(Node *bTree) {
if(bTree == NULL)
return;
MidOrderShow(bTree->lChild);
cout << bTree->data << "\t";
MidOrderShow(bTree->rChild);
}
void LastOrderShow(Node *bTree) {
if(bTree == NULL)
return;
LastOrderShow(bTree->lChild);
LastOrderShow(bTree->rChild);
cout << bTree->data << "\t";
}
int main() {
pNode bTree;
CreateTree(bTree);
cout << "二叉树创建成功！";
cout << "\n前序遍历：";
PreOrderShow(bTree);
cout << "\n中序遍历：";
MidOrderShow(bTree);
cout << "\n后序遍历：";
LastOrderShow(bTree);
getchar();
return 0;
}
四、总结
二叉树这一部分建议看书来学习，这里总结的只是一些重要的概念，相当于抄书，光看文字其实是很难搞懂树这种结构的，要看书上的配图；二叉树只是树这个数据结构的一小部分，但是它比较重要，是其他各种树的基础，也比较好理解，所以先把二叉树高透彻是很有必要的；所以这篇总结只是当做一个笔记，待下次学习的时候，起到一个勾起记忆的作用，后面还会整理总结关于树的其他更难更重要的结构~
从根节点第一层开始，一次从左往右为每一个节点编号； ↩︎
