第二章局部图像描述子

2.1 角点

角点：沿任意方向移动，均有明显灰度变化。

将图像窗口平移[u,v]产生灰度变化E(u,v)

$E(u,v)=\sum_{x,y}^{}w(x,y)[I(x+u,y+v)-I(x,y)]^{2}$

w(x,y)为窗口函数，I(x+u,y+v)为平移后图像灰度，I(x,y)为图像灰度

如何求解I(x+u,y+v)，以及E(u,v)?

于是对局部微小移动量[u,v]，可以近似得到下面的表达：

$E(u, v) \cong[u, v] \quad M\left[\begin{array}{l} u \\ v \end{array}\right]$
其中M是2×2矩阵，可由图像的导数求得：

$M=\sum_{x, y} w(x, y)\left[\begin{array}{cc} I_{x}^{2} & I_{x} I_{y} \\ I_{x} I_{y} & I_{y}^{2} \end{array}\right]$

窗口移动导致图像变化量：实对称矩阵M的特征值分析

$E(u, v) \cong[u, v] M\left[\begin{array}{l} u \\ v \end{array}\right]$
记M特征值为λ1,λ2
$M=\sum_{x, y} w(x, y)\left[\begin{array}{cc} I_{x}^{2} & I_{x} I_{y} \\ I_{x} I_{y} & I_{y}^{2} \end{array}\right]$ Ix，Iy为对应方向上的梯度

物理意义：通过M的两个特征值大小对图像点进行分类

如果窗口内部颜色纹理接近（平坦区域），Ix,Iy值总体较小，在所有方向上移动均无明显灰度变化。
如果窗口内部在边角位置，图像块中部横线Iy值较大，Ix值较小，在y方向上移动有明显灰度变化，x方向没有。
如果窗口内部在边角位置，图像块中部竖线Ix值较大，Iy值较小，在x方向上移动有明显灰度变化，y方向没有。

R = detM - k(traceM)²
detM = λ1λ2
traceM = λ1+λ2

R只与M的特征值有关
角点：R为大数值正数
边缘：R为大数值负数
平坦区：R为小数值

总结：角点计算流程

对角点响应函数R进行阈值处理：R>threshold
提取R的局部最大值

有时为了消除参数k的印象，也可以采用商来计算响应：

$\begin{array}{c} R=\frac{\operatorname{det} M}{(\operatorname{trace} M)^{2}} \\ \operatorname{det} M=\lambda_{1} \lambda_{2} \\ \operatorname{trace} M=\lambda_{1}+\lambda_{2} \end{array}$

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