前置知识：定积分的一些性质
习题1
计算 ∫ − 2 2 ( x cos x 1 + x 2 + 4 − x 2 ) d x \int_{-2}^2(\dfrac{x\cos x}{1+x^2}+\sqrt{4-x^2})dx ∫−22(1+x2xcosx+4−x2)dx
解：
\qquad 因为 f ( x ) = x cos x 1 + x 2 f(x)=\dfrac{x\cos x}{1+x^2} f(x)=1+x2xcosx是奇函数
\qquad 所以 ∫ − 2 2 x cos x 1 + x 2 d x = 0 \int_{-2}^2\dfrac{x\cos x}{1+x^2}dx=0 ∫−221+x2xcosxdx=0
\qquad 原式 = ∫ − 2 2 ( 0 + 4 − x 2 ) d x = ∫ − 2 2 4 − x 2 d x = 2 π =\int_{-2}^2(0+\sqrt{4-x^2})dx=\int_{-2}^2\sqrt{4-x^2}dx=2\pi =∫−22(0+4−x2)dx=∫−224−x2dx=2π
习题2
已知 f f f在 [ 0 , 4 ] [0,4] [0,4]上的值为 f ( x ) = ∣ x − 2 ∣ f(x)=|x-2| f(x)=∣x−2∣，且 f f f是以 4 4 4为周期的函数，求 ∫ 3 7 f ( x ) d x \int_3^7f(x)dx ∫37f(x)dx
解：
\qquad 因为 f f f是以 4 4 4为周期的函数
\qquad 所以原式 = ∫ 0 4 f ( x ) d x = ∫ 0 2 ( 2 − x ) d x + ∫ 2 4 ( x − 2 ) d x = 2 + 2 = 4 =\int_0^4f(x)dx=\int_0^2(2-x)dx+\int_2^4(x-2)dx=2+2=4 =∫04f(x)dx=∫02(2−x)dx+∫24(x−2)dx=2+2=4