前置知识：分部积分法
分段积分
若 f f f在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续，且 c ∈ ( a , b ) c\in(a,b) c∈(a,b)，则有
∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx ∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx
有的时候， c c c不一定在 ( a , b ) (a,b) (a,b)上，但等式仍然成立。
分段积分就是将被积函数分为若干段，分别求积分，再求和。
例题1
计算 ∫ 0 2 π ∣ sin x ∣ d x \int_0^{2\pi}|\sin x|dx ∫02π∣sinx∣dx
解：
\qquad 原式 = ∫ 0 π sin x d x + ∫ π 2 π − sin x d x = − cos x ∣ 0 π + cos x ∣ π 2 π = 4 =\int_0^{\pi}\sin xdx+\int_{\pi}^{2\pi}-\sin xdx=-\cos x\bigg\vert_0^{\pi}+\cos x\bigg\vert_{\pi}^{2\pi}=4 =∫0πsinxdx+∫π2π−sinxdx=−cosx
0π+cosx
π2π=4
例题2
已知 f ( x ) = { e x , x ≤ 0 2 x + 2 , x > 0 f(x)=\begin{cases} e^x,\quad x\leq 0\\ 2x+2, \quad x>0 \end{cases} f(x)={ ex,x≤02x+2,x>0，求 ∫ − 1 1 f ( x ) d x \int_{-1}^1f(x)dx ∫−11f(x)dx
解：
\qquad 原式 = ∫ 0 1 e x d x + ∫ − 1 0 ( 2 x + 2 ) d x = e x ∣ 0 1 + ( x 2 + 2 x ) ∣ − 1 0 = e − 1 + 1 = e =\int_0^1e^xdx+\int_{-1}^0(2x+2)dx=e^x\bigg\vert_0^1+(x^2+2x)\bigg\vert_{-1}^0=e-1+1=e =∫01exdx+∫−10(2x+2)dx=ex
01+(x2+2x)
−10=e−1+1=e