含参变量定积分性质

 在常微分方程和偏微分方程以及有关物理问题中，常用到形如${\int }_a^{b}f(x,y)dx$的积分，其中变量$y$和积分变量$x$没有关系，在积分的过程中视为常量，$y$叫做参变量，则可知积分值是$y$的函数：$$I(y)={\int }_a^{b}f(x,y)dx$$本文以下目的是要研究函数$I(y)$的性质，例如，连续性，可微性等等。

定理1： 若函数$f(x,y)$在闭矩形$a\le x\le b$，$c\le y\le d$上连续，则函数$I(y)$在闭区间$c\le y\le d$上连续。

证明： 设$y_0$是$[c,d]$中任一点，需要证明$I(y)$在点$y_0$连续，则此则有$$I(y_0+\Delta y)-I(y_0)={\int }_a^b[f(x,y_0+\Delta y)-f(x,y_0)]dx$$任给$\epsilon >0$，由假定$f(x,y)$在闭矩形$a\le x\le b$，$c\le y\le d$上连续，从而一致连续。因此，必有$\delta >0$存在，使当$|\Delta y|<\delta$时，对一切$x(a\le x\le b)$都有$$|f(x,y_0+\Delta y)-f(x,y_0)|<\frac{\epsilon }{b-a}$$当$|\Delta y|<\delta$时，必有$$|I(y_0+\Delta y)-I(y_0)|<{\int }_a^b\frac{\epsilon }{b-a}dx=ϵ$$由此可知$\underset{\Delta y\to 0}{\lim }I(y_0+\Delta y)=I(y_0)$，即$I(y)$在点$y_0$连续，证毕。需要注意的是$I(y)$在点$y_0$连续又可以写为$$\underset{y\to y_0}{\lim }{\int }_a^{b}f(x,y)dx={\int }_a^b[\underset{y\to y_0}{\lim }f(x,,y)]dx$$

定理2： 若函数$f(x,y)$与$f_y^{\prime }(x,y)$都在闭矩形$a\le x\le b$，$c\le y\le d$上连续，则函数$I(y)$在闭区间$c\le y\le d$上具有连续导函数$I^{\prime }(y)$，并且$$I^{\prime }(y)=\frac{d}{dy}{\int }_a^{b}f(x,y)dx={\int }_a^b{f}_y^{\prime }(x,y)dx(c\le y\le d)$$

证明： 由微分中值公式可知$$\begin{array}{rl}I(y_0+\Delta y)-I(y_0)& ={\int }_a^b[f(x,y_0+\Delta y)-f(x,y_0)]dx\\ & ={\int }_a^b{f}_y^{\prime }(x,y_0+\theta \Delta y)\Delta ydx(0<\theta <1)\end{array}$$从而，$\Delta y\ne 0$时，有$$\frac{I(y_0+\Delta y)-I(y_0)}{\Delta y}={\int }_a^b{f}_y^{\prime }(x,y_0+\theta \Delta y)dx$$任给$ϵ>0$，由假定$f_y^{\prime }(x,y)$在闭矩形$a\le x\le b$，$c\le y\le d$上连续，从而一致连续。因此，存在$\delta >0$，当$|\Delta y|<\delta$时，对一切$x(a\le x\le b)$，都有$$|f_y^{\prime }(x,y_0+\theta \Delta y)-f_y^{\prime }(x,y_0)|<\frac{\epsilon }{b-a}(0<\theta <1)$$于是，当$0<|\Delta y|<\delta$时，有$$\left|\frac{I(y_0+\Delta y)-I(y_0)}{\Delta y}-{\int }_a^b{f}_y^{\prime }(x,y_0)dx\right|<{\int }_a^b\frac{\epsilon }{b-a}dx=\epsilon$$由此可知，$I^{\prime }(y_0)$存在有限，且$$I^{\prime }(y_0)={\int }_a^b{f}_y^{\prime }(x,y_0)dx$$证毕。