定积分的计算（分部积分法）

前置知识

• 分部积分法
• 牛顿-莱布尼茨公式

定积分分部积分法

设$u,v$在$[a,b]$上可导，且$u^{\prime },v^{\prime }$在$[a,b]$上连续，则

$${\int }_a^{b}u(x)v^{\prime }(x)dx=u(x)v(x){|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }(x)v(x)dx$$

也可写作

$${\int }_a^{b}udv=uv{|}_a^b-{\int }_a^{b}vdu$$

证明： 根据复合函数求导，有

$$u(x)v(x){|}_a^b={\int }_a^b[u(x)v(x){]}^{\prime }dx={\int }_a^{b}u(x)v^{\prime }(x)dx+{\int }_a^b{u}^{\prime }(x)v(x)dx$$

移项得

$${\int }_a^{b}u(x)v^{\prime }(x)dx=u(x)v(x){|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }(x)v(x)dx$$

例题1

计算${\int }_0^{1}x{e}^{x}dx$

解：
\qquad 原式$={\int }_0^{1}xd(e^x)=x{e}^x{|}_0^1-{\int }_0^1{e}^{x}dx=x{e}^x{|}_0^1-e^x{|}_0^1=e-(e-1)=1$

例题2

已知$f(1)=2$，${\int }_0^{1}f(x)dx=1$，计算${\int }_0^{1}x{f}^{\prime }(x)dx$

解：
\qquad 原式$={\int }_0^{1}xd[f(x)]=xf(x){|}_0^1-{\int }_0^{1}f(x)dx=f(1)-{\int }_0^{1}f(x)dx=2-1=1$