三维空间点，面，线的关系总结

1. 空间直线方程

1.1 两点式（两个空间点确定一条直线）

假设有两个空间点$A(x_1,y_1,z_1)$,$B(x_2,y_2,z_2)$,则有直线方程为：
$$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}$$

1.2 一般式（两个平面确定一条直线）

在空间中，一条直线可以看做是两个平面的交线。

假设已知平面$\pi 1:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0,\pi 2:A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0$

由于两平面交线上的点必然满足两个方程，则可以得到直线方程为： { A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 \{\begin{matrix} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{matrix} { A1​x+B1​y+C1​z+D1​=0A2​x+B2​y+C2​z+D2​=0​

1.3 点斜式

首先明确方向向量的概念：平行于一条已知直线的一个非零向量。

已知直线上一点$M_0(x_0,y_0,z_0)$和它的一个方向向量 $\vec{S}=(m,n,l)$时，我们可以确定直线的位置。

假设$M(x,y,z)$为直线上一点，则有$\overrightarrow{M_{0}M}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$,且由于$\overrightarrow{M_{0}M}$与$\vec{S}$平行，则有直线方程为：$$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{l}$$

2. 空间平面方程

2.1 一般式

$$Ax+By+Cz+D=0$$其中$A,B,C,D$为已知常数，且$A,B,C$不同时为0。

2.2 点法式

假设$\vec{n}=(A,B,C)$为平面的法向量，$M,M^{\prime }$为平面上任意两点，$M{M}^{\prime }=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$,则有$\vec{n}\cdot M{M}^{\prime }=0$ ，从而可以得平面的点法式方程：$$A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0$$

2.3 截距式

假设有平面方程为$Ax+By+Cz+D=0$,若$D$不等于0，取$a=-D/A,b=-D/B,c=-D/C$,则可以得到平面的截距式方程：$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$$
它与三坐标轴的交点分别为$P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)$，其中，$a,b,c$ 依次称为该平面在$x,y,z$轴上的截距。

3. 距离计算

3.1 两点之间的距离

假设有两个空间点$A(x_1,y_1,z_1)$,$B(x_2,y_2,z_2)$，则两点之间的距离为$$\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$$

又称为欧式距离，欧几里得距离

3.2 点到直线的距离

假设某空间直线的方向向量为$\vec{S}=(m,n,l)$ 过点$A(x_1,y_1,z_1)$ ；空间上的存在一点$B(x_2,y_2,z_2)$ 。令$\vec{v}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$，即表示由点$A$指向点$B$的向量。

• 方法一：
  已知$\vec{S}\cdot \vec{v}=|\vec{S}|\cdot |\vec{v}|\cdot cos\theta$,而$|\vec{v}|\cdot cos\theta$与要求的距离d构成以$|AB|$即$|\vec{v}|$为斜边的直角三角形。
  故有$$d=\sqrt{|\vec{v}{|}^2-(|\vec{v}|\cdot cos\theta {)}^2}=\sqrt{|\vec{v}{|}^2-(\frac{\vec{s}\cdot \vec{v}}{|\vec{s}|}{)}^2}$$

• 方法二：
  根据向量积的定义，$|\vec{S}\times \vec{v}|$就是由两个向量构成的平行四边形的面积，而这个平行四边形的面积又等于$|\vec{S}|\cdot d$
  则有$$d=\frac{|\vec{S}\times \vec{v}|}{|\vec{S}|}$$

与向量方向无关

3.3 点到平面的距离

假设空间点$p$的坐标为$(x_p,y_p,z_p{)}^T$,平面方程为$Ax+By+Cz+D=0$。则有点到平面的距离为$$d=|\frac{A{x}_p+B{y}_p+C{z}_p+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}|$$

4. 投影

4.1 点到直线的投影(二维)

假设点坐标为P$(x_0,y_0)$，计算点P到线段AB的垂足F$(x_f,y_f)$。其中点A为$(x_1,y_1)$,点B为$(x_2,y_2)$。根据向量法求解，

• 首先列出如下向量
  $$\begin{gathered} \overrightarrow{PF}=(x_f-x_0,y_f-y_0) \\ \overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1) \\ \overrightarrow{AF}=(x_f-x_1,y_f-y_1) \end{gathered}$$

• 由向量垂直关系
  $$\overrightarrow{PF}\perp \overrightarrow{AB}=>(x_f-x_0)(x_2-x_1)+(y_f-y_0)(y_2-y_1)=0$$

• 又由点F在直线AB上，根据向量共线关系：

$$\begin{gathered} \frac{x_f-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y_f-y_1}{y_2-y_1}=k \\ =>x_f=k\ast (x_2-x_1)+x_1 \\ {y}_f=k\ast (y_2-y_1)+y_1 \end{gathered}$$

• 代入垂直关系公式，求得k
  $$k=-\frac{(x_1-x_0)(x_2-x_1)+(y_1-y_0)(y_2-y_1)}{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$
  根据求得的k,即可求得$x_f$和$y_f$。

4.2 点到平面的投影

假设空间点$p$的坐标为$(x_p,y_p,z_p{)}^T$,平面方程为$ax+by+cz+d=0$。

则有过点$p$且与平面垂直的直线方程：$$\frac{x-x_p}{a}=\frac{y-y_p}{b}=\frac{z-z_p}{c}$$
则点到平面的投影点就是上述直线与平面的交点：
对直线方程进行变形可以得到：
{ x = a t + x p y = b t + y p z = c t + z p \{\begin{matrix} x=at+x_p \\ y=bt+y_p \\ z =ct+z_p \end{matrix} { x=at+xp​y=bt+yp​z=ct+zp​​

代入到平面方程，有$a(at+x_p)+b(bt+y_p)+c(cz+z_p)+d=0$
$=>t=\frac{-a{x}_p-b{y}_t-c{z}_t-d}{a^2+b^2+c^2}$

则投影点$p^{\prime }$坐标为$(a\cdot \frac{-a{x}_p-b{y}_t-c{z}_t-d}{a^2+b^2+c^2}+x_p,b\cdot \frac{-a{x}_p-b{y}_t-c{z}_t-d}{a^2+b^2+c^2}+y_p,c\cdot \frac{-a{x}_p-b{y}_t-c{z}_t-d}{a^2+b^2+c^2}+z_p)$

4.3 直线到平面的投影

假设有直线方程 { A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 \{\begin{matrix} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{matrix} { A1​x+B1​y+C1​z+D1​=0A2​x+B2​y+C2​z+D2​=0​，求其在平面方程$Ax+By+Cz+D=0$上的投影：

• 求解过直线的平面束为：$$A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1+\lambda (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2)=0$$
  => $$(A_1+A_2\lambda )x+(B_1+B_2\lambda )y+(C_1+C_2\lambda )z+(D_1+D_2\lambda )=0$$

• 求解直线到平面的投影即需要求解与已知平面垂直的过直线平面方程：
  $$(A_1+A_2\lambda )A+(B_1+B_2\lambda )B+(C_1+C_2\lambda )C=0$$
  => $$\lambda =-\frac{A_{1}A+B_{1}B+C_{1}C}{A_{2}A+B_{2}B+C_{2}C}$$

• 将上述$\lambda$代入平面束方程，便得到过已知直线，且与已知平面垂直的平面方程。

• 联立两平面的方程即可得到投影直线的方程：
  { A x + B y + C z + D = 0 ( A 1 + A 2 λ ) x + ( B 1 + B 2 λ ) y + ( C 1 + C 2 λ ) z + ( D 1 + D 2 λ ) = 0 \{\begin{matrix} Ax+By+Cz+D =0\\(A_1+A_2\lambda)x+(B_1+B_2\lambda)y+(C_1+C_2\lambda)z+(D_1+D_2\lambda)=0 \end{matrix} { Ax+By+Cz+D=0(A1​+A2​λ)x+(B1​+B2​λ)y+(C1​+C2​λ)z+(D1​+D2​λ)=0​

5. 平行与垂直

5.1 直线与平面互相垂直

假设有直线方程：$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{l}$ 平面方程：$Ax+By+Cz+D=0$,则直线与平面互相垂直等价于直线方向向量与平面法向量互相平行：$$\frac{m}{A}=\frac{n}{B}=\frac{l}{C}$$

5.2 直线与平面互相平行

假设有直线方程：$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{l}$ 平面方程：$Ax+By+Cz+D=0$,则直线与平面互相平行等价于直线方向向量与平面法向量互相垂直：$$m\cdot A+n\cdot B+l\cdot C=0$$

5.3 平面与平面互相垂直

假设已知平面$\pi 1:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0,\pi 2:A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0$，则平面$\pi 1$与$\pi 2$相互垂直等同于
$$A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2=0$$
即平面$\pi 1$与$\pi 2$的法向量相互垂直。

5.4 平面与平面互相平行

假设已知平面$\pi 1:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0,\pi 2:A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0$，则平面$\pi 1$与$\pi 2$相互平行等同于
$$A_1/A_2=B_1/B_2=C_1/C_2$$
即平面$\pi 1$与$\pi 2$的法向量相互平行。

6. 夹角

6.1 两平面夹角

假设已知平面${\pi }_1:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0,{\pi }_2:A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0$

则有两平面夹角为：
$$cos\theta =\frac{|A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}$$

对应${\pi }_1{\pi }_2$垂直$<=>$$A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2=0$

参考

https://zhuanlan.zhihu.com/p/422696920
https://zhuanlan.zhihu.com/p/524027353