MATLAB 之 数据统计分析和多项式计算

一、数据统计分析

• 在实际应用中，经常需要对各种数据进行统计处理，以便为科学决策提供依据。这些统计处理包括求数据序列的最大值和最小值、和与积、平均值和中值、累加和与累乘积、标准差和相关系数、排序等，MATLAB 提供了相关的函数来实现。

1. 最大值和最小值

• MATLAB提供了求数据序列最大值的函数max和求最小值的函数min,它们的调用格式和
  操作过程类似。

1.1 求向量的最大值和最小值

• 求向量 $X$ 的最大值的函数有两种调用格式，分别如下。
• （1） y=max(X)：返回向量 $X$ 的最大值，并存入 $y$。如果 $X$ 中包含复数元素，则按模取最大值。
• （2） [y,k]=max(X)：返回向量 $X$ 的最大值，并存入 $y$，最大值的序号存入 $k$。如果 $X$ 中包含复数元素，则按模取最大值。
• 求向量 $X$ 的最小值的函数是 min(X)，用法和 max(X) 相同。
• 例如，我们求向量 $x$ 的最大值。
• 程序如下：

>> x=[-43,72,9,16,23,47];
>> y=max(x)  %求向量x中的最大值

y =

    72

>> [y,k]=max(x)  %求向量x中的最大值及该元素的位置

y =

    72


k =

     2

• 以上是对行向量进行操作，事实上对列向量的操作与对行向量的操作结果是一样的。例如，我们对上述 $x$ 进行转置，有相同的结果。

>> [y,k]=max(x')

y =

    72


k =

     2

1.2 求矩阵的最大值和最小值

• 求矩阵 $A$ 的最大值的函数有 3 种调用格式，分别如下。
• （1） max(A)：返回一个行向量，向量的第 $i$ 个元素是矩阵 $A$ 的第 $i$ 列上的最大值（返回的是每列的最大值）。
• （2） [Y,U]=max(A)：返回行向量 $Y$ 和 $U$，$Y$ 向量记录 $A$ 的每列的最大值，$U$ 向量记录每列最大值的行号（返回的是每列的最大值）。
• （3） max(A,[],dim)：dim 取 1 或 2。dim 取 1 时，该函数和 max(A) 等价；dim 取 2 时，该函数返回一个列向量，其第 $i$ 个元素是 $A$ 矩阵的第 $i$ 行上的最大值（返回的是每行的最大值）。
• 求矩阵最小值的函数是 min，其用法和 max 函数相同。
• 例如，我们求矩阵 $A$ 每行及每列的最大值，并求整个矩阵的最大值。 $$A=\left[\begin{array}{ccc}13& -56& 78\\ 25& 63& -235\\ 78& 25& 563\\ 1& 0& -1\end{array}\right]$$
• 程序如下：

>> A=[13,-56,78;25,63,-235;78,25,563;1,0,-1];
>> max(A,[],2)  %求每行最大值

ans =

    78
    63
   563
     1

>> max(A)  %求每列的最大值

ans =

    78    63   563

>> max(max(A))  %求整个矩阵的最大值，也可使用max(A(:))

ans =

   563

1.3 两个向量或矩阵对于元素的比较

• 函数 max 和 min 还能对两个同型的向量或矩阵进行比较，调用格式如下。
• （1） U=max(A,B)：$A、B$ 是两个同型的向量或矩阵，结果 $U$ 是与 $A、B$ 同型的向量或矩阵，$U$ 的每个元素等于 $A、B$ 对应元素的较大者。
• （2） U=max(A,n)：$n$ 是一个标量，结果 $U$ 是与 $A$ 同型的向量或矩阵，$U$ 的每个元素等于 $A$ 对应元素和 $n$ 中的较大者。
• min 函数的用法和 max 函数相同。
• 例如，我们求两个 $2\times 3$ 矩阵 $x、y$ 所有同一位置上的较大元素构成的新矩阵 $p$。
• 程序如下：

>> x=[4,5,6;1,4,8];
>> y=[1,7,5;4,5,7];
>> p=max(x,y)  %在x、y同一位置上的两个元素中找出较大值

p =

     4     7     6
     4     5     8

• 上例是对两个同样大小的矩阵操作，MATLAB 还允许对一个矩阵和一个常数或单变量操作。例如：

>> x=[4,5,6;1,4,8];
>> p=max(x,4.5)  

p =

     4.5000     5.0000     6.0000
     4.5000     4.5000     8.0000

2. 求和与求积

• 数据序列求和用 sum 函数。设 $X$ 是一个向量，$A$ 是一一个矩阵，sum 函数的调用格式如下。
• （1） sum(X)：返回向量 $X$ 各元素的和。
• （2） sum(A)：返回一个行向量，其第 $i$ 个元素是 $A$ 的第 $i$ 列的元素和。
• （3） sum(A,dim)：当 dim 为 1 时，该函数等同于 sum(A)；当 dim 为 2 时，返回一个列向量，其第 $i$ 个元素是 $A$ 的第 $i$ 行的各元素之和。
• 数据序列求积用 prod 函数，其使用方法与 sum 函数相同。
• 例如，我们求矩阵 $A$ 的每行元素之和和全部元素之和。
• 程序如下：

>> A=[1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12];
>> S=sum(A,2)

S =

    10
    26
    42

>> sum(S)

ans =

    78

>> 

3. 平均值和中值

• 数据序列的平均值指的是算术平均值。中值，是指在数据序列中其值的大小恰好处在中间的元素。
• 例如，数据序列 -2，5，7，9，12 的中值为 7，即它的大小恰好处于数据序列各个值的中间，这是数据序列为奇数个数的情况。如果数据序列为偶数个数，则中值等于中间的两数的平均值。例如，数据序列 -2，5，6，7，9，12 中， 处于中间的数是 6 和 7，故其中值为 6.5。
• 求矩阵和向量元素的平均值的函数是 mean。设 $X$ 是一个向量，$A$ 是一个矩阵，mean 函数的调用格式如下。
• （1） mean(X)：返回向量 $X$ 的算术平均值。
• （2） mean(A)：返回一个行向量，其第 $i$ 个元素是 $A$ 的第 $i$ 列的算术平均值。
• （3） mean(A,dim)：当 dim 为 1 时，该函数等同于 mean(A)；当 dim 为 2 时，返回一个列向量，其第 $i$ 个元素是 $A$ 的第 $i$ 行的算术平均值。
• 求中值的函数是 median，其调用方法和 mean 函数相同。
• 例如，我们向量 $x$ 的平均值。
• 程序如下：

>> x=[9,-2,5,6,7,12];
>> mean(x)

ans =

    6.1667

4. 累加和与累乘积

• 设 $U=(u_1,u_2,u_3,\dots ,u_n)$ 是一个向量，$V、W$ 是与 $U$ 等长的另外两个向量，并且$$V=(\sum _{i=1}^1{u}_i,\sum _{i=1}^2{u}_i,\dots ,\sum _{i=1}^n{u}_i)$$$$W=(\prod _{i=1}^1{u}_i,\prod _{i=1}^2{u}_i,\dots ,\prod _{i=1}^n{u}_i)$$
• 称 $V$ 为 $U$ 的累加和向量，$W$ 为 $U$ 的累积乘向量。在 MATLAB 中，使用 cumsum 和 cumprod 函数能方便地求得向量和矩阵元素地累加和与累乘积向量，它们地调用格式相同，其中 cumsum 函数地调用格式如下。
• （1） cumsum(X)：返回向量 $X$ 累加和向量。
• （2） cumsum(A)：返回一个矩阵，其第 $i$ 列是 $A$ 的第 $i$ 列的累加和向量。
• （3） cumsum(A,dim)：当 dim 为 1 时，该函数等同于 cumsum(A)；当 dim 为 2 时，返回一个矩阵，其第 $i$ 行是 $A$ 的第 $i$ 行的累加和向量。
• 例如，我们求 $s=1！+2！+\cdots +6！$。
• 程序如下：

>> x=cumprod(1:6)

x =

     1     2     6    24   120   720

>> s=sum(x)

s =

   873

5. 标准差与相关系数

5.1 求标准差

• 对于具有 $n$ 个元素的数据序列 $x_1，x_2，x_3，\dots ，x_n$，标准差的计算公式如下：$$S_1=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$$
• 或 $$S_2=\sqrt{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$$
• 其中 $$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$
• MATLAB 提供了计算数据序列的标准差的函数 std。
• 对于向量 $X$，std(X) 返回一个标准差。对于矩阵 $A$，std(A) 返回一个行向量，它的各个元素便是矩阵 $A$ 各列或各行的标准差。
• std 函数的一般调用格式如下：

    Y=std(A,flag,dim)

• 其中，dim 取 1 或 2。当 dim=1 时，求各列元素的标准差；当 dim=2 时，则求各行元素的标准差。
• 其中，flag 取 0 或 1，当 flag=0 时，按 $S_1$ 所列公式计算标准差；当 flag=1 时，按 $S_2$ 所列公式计算标准差。默认取 flag=0，dim=1。
• 方差是和标准差相关的概念，其值是标准差的平方。MATLAB 提供了 var 函数来计算方差，其使用方法与 std 函数类似。
• 例如，对于二维矩阵 $x$，我们从不同维方向求出其标准差和方差。
• 程序如下：

>> x=[4,5,6;1,4,8];
>> y1=std(x,0,1)  %求标准差

y1 =

    2.1213    0.7071    1.4142

>> v1=var(x,0,1)  %求方差

v1 =

    4.5000    0.5000    2.0000

>> y2=std(x,1,1)

y2 =

    1.5000    0.5000    1.0000

>> v2=var(x,1,1)

v2 =

    2.2500    0.2500    1.0000

>> y3=std(x,0,2)

y3 =

    1.0000
    3.5119

>> v3=var(x,0,2)

v3 =

    1.0000
   12.3333

>> y4=std(x,1,2)

y4 =

    0.8165
    2.8674

>> v4=var(x,1,2)

v4 =

    0.6667
    8.2222

5.2 相关系数

• 对于两组数据序列 $x_i，y_i(i=1，2，\dots ，n)$，可以由下式计算出两组数据的相关系数：$$r=\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2{\sum }_{i=1}^n(y_i-\bar{y}{)}^2}}$$
• MATLAB 提供了 corrcoef 函数，可以求出数据的相关系数矩阵，函数的调用格式如下。
• （1） corrcoef(X,Y)：其中，$X、Y$ 是向量。corrcoef(X,Y) 返回序列 $X$ 和序列 $Y$ 的相关系数，导到的结果是一个 $2\times 2$ 矩阵，其中对角线上的元素分别表示 $X$ 和 $Y$ 的自相关系数，非对角线上的元素分别表示 $X$ 与 $Y$ 的相关系数和 $Y$ 与 $X$ 的相关系数，两个是相等的。
• （2） corrcoef(X)：返回从矩阵 $X$ 形成的一个相关系数矩阵，其中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素代表原矩阵 $X$ 中第 $i$ 个列向量和第 $j$ 个列向量的相关系数，即 $X(:,i)$ 和 $X(:,j)$的相关系数。
• 例如，我们生成满足正态分布的 $10000\times 5$ 随机矩阵，然后求各列元素的均值和标准差，再求这 $5$ 列随机数据的相关系数矩阵。
• 程序如下：

>> X=randn(10000,5);
>> M=mean(X)

M =

    0.0017   -0.0020   -0.0038   -0.0001   -0.0106

>> D=std(X)

D =

    0.9915    0.9899    0.9995    0.9862    1.0118

>> R=corrcoef(X)

R =

    1.0000    0.0060   -0.0001    0.0111    0.0005
    0.0060    1.0000   -0.0030   -0.0131   -0.0050
   -0.0001   -0.0030    1.0000   -0.0203   -0.0024
    0.0111   -0.0131   -0.0203    1.0000    0.0122
    0.0005   -0.0050   -0.0024    0.0122    1.0000

>> R=corrcoef(X(:,1),X(:,2))  %求X前两列的相关系数

R =

    1.0000    0.0060
    0.0060    1.0000

• 求得的均值接近于 0，标准差接近于 1，由标准正态分布的随机数的性质可以看出，这个结构式正确的。此外，由于其相关系数矩阵趋于单位矩阵，故由函数 randn 产生的随机数是独立的。
• 相关系数是反映两组数据序列之间的相互关系的指标，类似的指标还有协方差，计算公式如下：$$c=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$$
• MATLAB 提供了 cov 函数来求两组数据的协方差矩阵，使用方法与 corrcoef 函数类似。例如：

>> A=[3,6,4];
>> B=[7,12,-9];
>> C1=cov(A,B)

C1 =

    2.3333    6.8333
    6.8333  120.3333

• 求 A，B 两个向量的协方差，将产生一个 $2\times 2$ 矩阵，其中 $C(1,1)$ 代表向量 $A$ 的自协方差，$C(1,2)$ 代表向量 $A$ 与向量 $B$ 的协方差，$C(2,1)$ 代表向量 $B$ 与向量 $A$ 的协方差，$C(2,2)$ 代表向量 $B$ 的自协方差。
• 又如：

>> A=[5,0,3,7;1,-5,7,3;4,9,8,10]

A =

     5     0     3     7
     1    -5     7     3
     4     9     8    10

>> C2=cov(A)

C2 =

    4.3333    8.8333   -3.0000    5.6667
    8.8333   50.3333    6.5000   24.1667
   -3.0000    6.5000    7.0000    1.0000
    5.6667   24.1667    1.0000   12.3333
    

• 因为矩阵 $A$ 有 4 列，所以协方差矩阵是 $4\times 4$ 矩阵，其中 $C(i,j)$ 代表向量 $A(:.i)$ 与向量 $A(:,j)$ 的协方差。

6. 排序

• 对向量元素进行排序是一个经常性的操作，MATLAB 中对向量 $X$ 进行排序的函数时 sort(X)，函数返回一个对 $X$ 中的元素按升序排列的向量。
• sort 函数也可以对矩阵 $A$ 的各列或各行重新进行排序，其调用格式如下：

    [Y,I]=sort(A,dim,mode)

• 其中，$Y$ 是排序后的矩阵，而 $I$ 记录 $Y$ 中的元素在 $A$ 中的位置。
• dim 指明对 $A$ 的列还是行进行排序，若 dim=1，则按列排；若 dim=2，则按行排。dim 默认取 1。
• mode 指明按升序还是按降序排序，‘ascend’ 按升序，‘descend’ 按降序。mode 默认取 ‘ascend’。
• 例如，我们对下列矩阵做各种排序。$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& -8& 5\\ 4& 12& 6\\ 13& 7& -13\end{array}\right]$$
• 程序如下：

>> A=[1,-8,5;4,12,6;13,7,-13];
>> sort(A)  %对A的每列按升序排序

ans =

     1    -8   -13
     4     7     5
    13    12     6

>> sort(A,2,'descend')  %对A的每行按降序排序

ans =

     5     1    -8
    12     6     4
    13     7   -13

>> [X,I]=sort(A)  %对A的按列排序，并将每个元素所在行号送矩阵I

X =

     1    -8   -13
     4     7     5
    13    12     6


I =

     1     1     3
     2     3     1
     3     2     2

二、多项式计算

• 在 MATLAB 中，$n$ 次多项式用一个长度为 $n+1$ 的行向量表示，缺少的幂次项系数为 0。如果 $n$ 次多项式表示为 $$P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+a_{n-2}{x}^{n-2}+\cdots +a_{1}x+a_0$$
• 则在 MATLAB 中，$P(x)$ 表达为向量形式：$[a_n，a_{n-1}，a_{n-2}，\dots ，a_1，a_0]$。

1. 多项式的四则运算

• 多项式之间可以进行四则运算，其运算结果仍为多项式。

1.1 多项式的加减运算

• MATLAB 没有提供专门进行多项式加减运算的函数。事实上，多项式的加减运算就是其所对应的系数向量的加减运算。对于次数相同的两个多项式，可直接对多项式系数向量进行加减运算。
• 如果多项式的次数不同，则应该把低次的多项式系数不足的高次项用 0 补足，使同式中的各多项式具有相同的次数。
• 例如计算 $(x^3-2x^2+5x+3)+(6x-1)$，对于和式的后一个多项式 $6x-1$，它仅为 1 次多项式，而前面的是 3 次。为确保两者次数相同，应把后者的系数向量处理成 $[0,0,6,-1]$。
• 程序如下：

>> a=[1,-2,5,3];
>> b=[0,0,6,-1];
>> c=a+b

c =

     1    -2    11     2

1.2 多项式乘法运算

• 函数 conv(P1,P2) 用于求多项式 P1 和 P2 的乘积。其中，P1、P2 是两个多项式系数向量。
• 例如，我们求多项式 $x^4+8x^3-10$ 与多项式 $2x^2-x+3$ 的乘积。
• 程序如下：

>> A=[1,8,0,0,-10];
>> B=[2,-1,3];
>> C=conv(A,B)

C =

     2    15    -5    24   -20    10   -30

• 本例的执行结果是求得一个 6 次多项式：$2x^6+15x^5-5x^4+24x^3-20x^2+10x-30$。

1.3 多项式除法

• 函数 [Q,r]=deconv(P1,P2) 用于对多项式 P1 和 P2 做除法运算。其中 $Q$ 返回多项式 P1 除以 P2 的商式，$r$ 返回 P1 除以 P2 的余式。这里，$Q$ 和 $r$ 仍是多项式系数向量。
• deconv 是 conv 的逆函数，即有 P1=conv(P2,Q)+r。
• 例如，我们求多项式 $x^4+8x^3-10$ 除以多项式 $2x^2-x+3$ 的结果。
• 程序如下：

>> A=[1,8,0,0,-10];
>> B=[2,-1,3];
>> [P,r]=deconv(A,B)

P =

    0.5000    4.2500    1.3750


r =

         0         0         0  -11.3750  -14.1250

• 从上面的运行结果可知，多项式 $A$ 除以多项式 $B$ 获得商多项式 $P$ 为 $0.5x^2+4.25x1.375$，余项多项式 $r$ 为 $-11.375x-14.125$。以下则用本例来验证 deconv 和 conv 是互逆的。

>> conv(B,P)+r

ans =

     1     8     0     0   -10

2. 多项式的导函数

• 求多项式的导函数用 polyder 函数，其调用格式如下。
• （1） p=polyder(P)：求多项式 $P$ 的导函数。
• （2） p=polyder(P,Q)：求 $P●Q$ 的导函数。
• （3） [p,q]=polyder(P,Q)：求 $P/Q$ 的导函数，导函数的分子存入 $p$，分母存入 $q$。
• 上述函数调用中，参数 $P、Q$ 是多项式的向量表示，结果 $p、q$ 也是多项式的向量表示。
• 例如，我们求有理分式的导数。$$f(x)=\frac{1}{x^2+5}$$
• 程序如下：

>> P=1;
>> Q=[1,0,5];
>> [p,q]=polyder(P,Q)

p =

    -2     0


q =

     1     0    10     0    25

• 结果表明 $$f^{\prime }(x)=\frac{2x}{x^4+10x^2+25}$$

3. 多项式的求值

• MATLAB 提供了两种求多项式值的函数：polyval 与 polyvalm，它们的输入参数均为多项式系数向量 $P$ 和自变量 $x$。两者的区别在于前者是代数多项式求值，而后者是矩阵多项式求值。

3.1 代数多项式求值

• polyval 函数用来求代数多项式的值，其调用格式如下：

    Y=polyval(P,x)

• 若 $x$ 为一数值，则求多项式在该点的值；若 $x$ 为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求其多项式的值。
• 例如，已知多项式 $x^4+8x^3-10$，分别取 $x=1.2$ 和一个 $2\times 3$ 矩阵为自变量，计算该多项式的值。
• 程序如下：

>> A=[1,8,0,0,-10];  %4次多项式系数
>> x=1.2;  %取自变量为一数值
>> y1=polyval(A,x)

y1 =

    5.8976

>> x=[-1,1.2,-1.4;2,-1.8,1.6];  %给出一个矩阵x
>> y2=polyval(A,x)  %分别计算矩阵x中各元素为自变量的多项式的值

y2 =

  -17.0000    5.8976  -28.1104
   70.0000  -46.1584   29.3216

3.2 矩阵多项式求值

• polyvalm 函数用来求矩阵多项式的值，其调用格式与 polyval 相同，但含义不同。
• polyvalm 函数要求 $x$ 为方阵，它以方阵为自变量求多项式的值。设 $A$ 为方阵，$P$ 代表多项式 $x^3-5x^2+8$，那么 polyvalm(P,A) 的含义是 $$A\ast A\ast A-5\ast A\ast A+8eye(size(A))$$
• 而 polyval(P,A) 的含义是 $$A.\ast A.\ast A-5.\ast A.\ast A+8ones(size(A))$$
• 例如，已知多项式 $x^4+8x^3-10$ 为例，我们以 $2\times 2$ 矩阵为自变量分别用 polyval 和 polyvalm 计算该多项式的值。
• 程序如下：

>> A=[1,8,0,0,-10];
>> x=[-1,1.2;2,-1.8];
>> y1=polyval(A,x)

y1 =

  -17.0000    5.8976
   70.0000  -46.1584

>> y2=polyvalm(A,x)

y2 =

  -60.5840   50.6496
   84.4160  -94.3504

4. 多项式求根

• $n$ 次多项式具有 $n$ 个根，当然这些根可能是实根，也可能含有若干对共轭复根。MATLAB 提供的 roots 函数用于求多项式的全部根，其调用格式如下：

    x=roots(P)

• 其中，$P$ 为多项式的系数向量，求得的根赋给向量 $x$，即 $x(1)、x(2)、\dots 、x(n)$ 分别代表多项式的 $n$ 个根。
• 例如，我们求多项式 $x^4+8x^3-10$ 的根。
• 程序如下：

>> A=[1,8,0,0,-10];
>> x=roots(A)

x =

  -8.0194 + 0.0000i
   1.0344 + 0.0000i
  -0.5075 + 0.9736i
  -0.5075 - 0.9736i

• 若已知多项式的全部根，则可以用 ploy 函数建立起该多项式，其调用格式如下：

    P=poly(x)

• 若 $x$ 为具有 $n$ 个元素的向量，则 poly(x) 建立以 $x$ 为其根的多项式，且将该多项式的系数赋给向量 $P$。
• 例如，已知：$$f(x)=3x^5+4x^3-5x^2-7.2x+5$$
• （1） 计算 $f(x)=0$ 的全部根。
• （2） 由方程 $f(x)=0$ 的根构造一个多项式 $g(x)$，并与 $f(x)$ 进行对比。
• 程序如下：

>> P=[3,0,4,-5,0,-7.2,5];
>> X=roots(P)  %求方程f(x)=0的根

X =

  -0.7669 + 0.9299i
  -0.7669 - 0.9299i
  -0.0582 + 1.3331i
  -0.0582 - 1.3331i
   1.0158 + 0.0000i
   0.6343 + 0.0000i

>> G=poly(X)  %求多项式g(x)

G =

    1.0000   -0.0000    1.3333   -1.6667    0.0000   -2.4000    1.6667

• 这是多项式 f(x) 除以首项系数 3 的结果，两者的零点相同。