pnext表的分析
上篇我们提到了最后是构建一个pnext表，记录着每个字符匹配需要移动的长度的位置信息，接着上篇的内容，我们来分析下pnext表的构造。
还是举个栗子:
ababcabcacbab
abcac # 状态1
abcac # 状态2
如状态1所示，这时位置i的字符是最后一个c，对应的位置ki的字符应该是b。由此可知：
- 模式串移动之后，作为下一个用于匹配的字符串的新位置，其前缀子串应该与匹配失败的字符串之前同样长度的子串相同。
- 如果匹配在模式串的位置i失败时，而位置i的前缀子串中满足杉树条件的位置不止一处，那么只能做最短的移动，将模式串移动到最近的满足上述条件的位置，保证不遗漏可能的匹配。
现在考虑pnext表的构造问题，首先已知ki的值只依赖模式串本身的前i的字符。在下面的分析和讨论中参考下图。
图一
首先，如图1状态(1)所示，目标串中位置j之前的i个字符，也就是模式串的前i个字符，也就是说，目标串中的子串tj-i…ti-1就是p0…pi-1。
现在需要找一个位置k，下次匹配用pk与前面匹配失败的tj比较，也就是把模式串移动到pk与tj对准的位置，也即状态(2)，如果移动的正确，那么模式串里的子串p0…pk-1应该与子串的pi-k…pi-1匹配，这两个子串分别是p0…pi-1的长度为k的前缀和后缀，这样确定k的问题就变成了确定p0…pi-1的相等前缀和和后缀的长度。显然有k越小移动越远的结论。前面说的移动距离尽可能短。与之对应的是应该找的k是p0…pi-1的最长的相等前缀和后缀的长度，这样才能保证不会跳过可能的匹配。
上图中可以看出，如果p0…pi-1的最长相等前后缀的长度为k(0<k<i-1)，在pi≠tj的时候，模式串就应该右移i-k位。也就是说，应该把pnext[i]设置为k。
KMP的巧妙的递推算法
图二
现在假设对子串p0…pi-1pi(也就是相对位置i)递推最长相等前后缀的长度，这时对pnext[i-1]已经计算出结果为k-1，比较pi与pk，有两种情况：
- 如果pi=pk，那么对于i的最长相等前后缀的长度，比对i-1的最长相等前后缀的长度多1，此时应该将pnext[i]设置为k，然后考虑下一个字符。
- 把前i-1个子串的最前相等前缀移动过来继续检查。
第二种情况并没有设置，只是继续检查。不难确定，移动过来检查是正确的。
已知pnext[0] = -1和直至pnext[i-1]的已有值求pnext[i]的算法：
- 假设pnext[i-1] = k-1，如果pi=pk，那么最长前后缀长度就是k，将其计入pnext[i]，将i值加一后继续递推(循环)。
- 如果pi≠pk，就将k设置为pnext[k]的值，(将k设置为pnext[k]，也就是转去考虑前一个更短的保证匹配的前缀，可以基于它继续检查)。
- 如果k的值为-1，(这个值一定是来源于步骤2)，那么p0…pi的最长相同前后缀的长度就是0，设置pnext[i]=0，将i值加一后继续递推。
pnext表构造算法
基于上面的分析定义出来的算法：
def gen_next(p):
i, k, pattern_len = 0, -1, len(p)
pnext = [-1] * pattern_len # 初始化数组元素全部为-1
while i < pattern_len - 1: # 生成下一个pnext元素值
if k == -1 or p[i] == p[k]:
i, k = i + 1, k + 1
pnext[i] = k # 设置pnext元素
else:
k = pnext[k] # 退到更短相同前缀
return pnext
函数刚开始时建立一个元素值全部为-1的表，循环中为下标为0之后的各元素赋值，具体处理完全是上面分析的情况，该算法的形式与前面KMP串匹配的主函数极为类似，算法分析情况可以照搬，结论是算法时间复杂度是O(m),m是模式串的长度。
算法改进
参考图一的状态1和状态2，由于匹配失败时有pi≠tj，设pnext[i]=k，如果发现pi=pk，那么也就一定有pk≠tj。所以这种情况下，实际模式串应该是右移到pnext[k](而不是仅右移到pnext[i])，下一步应该用pnext[k]与tj比较，这一修改可以把模式串移动的更远，可能会提高效率。修改后的函数定义如下：
def gen_next(p):
i, k, pattern_len = 0, -1, len(p)
pnext = [-1] * pattern_len # 初始化数组元素全部为-1
while i < pattern_len - 1: # 生成下一个pnext元素值
if k == -1 or p[i] == p[k]:
i, k = i + 1, k + 1
if p[i] == p[k]:
pnext[i] = pnext[k]
else:
pnext[i] = k # 设置pnext元素
else:
k = pnext[k] # 退到更短相同前缀
return pnext
许多场景中需要用一个模式串反复在一个或者多个目标串里匹配，这种情况下，构造模式串里的工作只需要做一次，后面匹配中只需要简单反复使用，就是最适合KMP算法的场景。