邻接表与邻接矩阵

介绍

邻接表和邻接矩阵是图的两种常用存储表示方式，用于记录图中任意两个顶点之间的连通关系，包括权值。

对于图$G=(V,E)$而言，其中$V$表示顶点集合,$E$表示边集合。

对于无向图$graph$，图的顶点集合和边集合如下：
$V=1,2,3,4,5$
$E=(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(3,4),(3,5)$

对于有向图$digraph$，图的顶点集合和边集合如下：
$V=1,2,3,4,5$
$E=<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,3>,<3,1>,<3,5>,<4,3>$

邻接表

无向图 $graph$ 表示

有向图 $digraph$ 表示

若采用邻接表表示，则需要申请 $|V|$ 个列表，每个列表存储一个顶点出发的所有相邻顶点。如果图 $G$ 为有向图，则 个列表存储的总顶点个数为$|E|$ ；如果图 $G$ 为无向图，则 $|V|$ 个列表存储的总顶点个数为 $|2E|$（暂不考虑自回路）。因为需要申请大小为 $|V|$ 的数组来保存节点，对节点分配序号，所以需要申请大小为 $|V|$ 的额外存储空间，即邻接表方式的存储空间复杂度为 $O(|V|+|E|)$ 。

邻接矩阵

无向图 $graph$ 表示

有向图 $digraph$ 表示

若采用邻接矩阵表示，则需要申请空间大小为 $|V{|}^2$ 的二维数组，在二位数组中保存每两个顶点之间的连通关系，则无论有向图或无向图，邻接矩阵方式的存储空间复杂度皆为 $O(|V{|}^2)$ 。若只记录图中顶点是否连通，不记录权值大小，则可以使用一个二进制位来表示二维数组的每个元素，并且根据无向图的特点可知，无向图的邻接矩阵沿对角线对称，所以可以选择记录一半邻接矩阵的形式来节省空间开销。

示例

两种存储结构对比

邻接矩阵 VS 邻接表 ：
邻接矩阵的大小只与节点数量有关，即 $N^2$ ，其中 $N$ 为节点数量。因此，当边数量明显少于节点数量时，使用邻接矩阵存储图会造成较大的内存浪费。
因此，邻接表 适合存储稀疏图（顶点较多、边较少）； 邻接矩阵 适合存储稠密图（顶点较少、边较多）。

代码附录

邻接表结构

# graph node definition
class Node(object):
    def __init__(self, index, weight, next = None):
        self.index = index
        self.weight = weight
        self.next = next

# adjacency list definition
class AdjacencyList(object):
    def __init__(self, number):
        self.number = number
        self.list = [None] * number

    # insert node
    def insert(self, origin, index, weight = 1):
        node = Node(index, weight, self.list[origin - 1])
        self.list[origin - 1] = node

测试代码：

if __name__ == '__main__':
    graph = AdjacencyList(5)
    graph.insert(1, 2)
    graph.insert(1, 3)
    graph.insert(1, 4)
    graph.insert(2, 3)
    graph.insert(3, 1)
    graph.insert(3, 5)
    graph.insert(4, 3)
    for i in range(graph.number):
        print('node', (i + 1), 'links:', end = ' ')
        node = graph.list[i]
        while node:
            print(node.index, end = ' ')
            node = node.next
        print()

输出结果：

node 1 links: 4 3 2 
node 2 links: 3 
node 3 links: 5 1 
node 4 links: 3 
node 5 links: 

邻接矩阵结构

# adjacency list definition
class AdjacencyMatrix(object):
    def __init__(self, number):
        self.number = number
        self.list = [[None] * number for i in range(number)]

    # insert node
    def insert(self, origin, index, weight = 1):
        self.list[origin - 1][index - 1] = weight

测试代码：

if __name__ == '__main__':
    graph = AdjacencyMatrix(5)
    graph.insert(1, 2)
    graph.insert(1, 3)
    graph.insert(1, 4)
    graph.insert(2, 3)
    graph.insert(3, 1)
    graph.insert(3, 5)
    graph.insert(4, 3)
    for i in range(graph.number):
        print('node', (i + 1), 'links:', end = ' ')
        j = 0
        while j < graph.number:
            print(j + 1, end = ' ') if graph.list[i][j] else None
            j += 1
        print()

输出结果：

node 1 links: 2 3 4 
node 2 links: 3 
node 3 links: 1 5 
node 4 links: 3 
node 5 links: