数学建模之多项式回归

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前言

对于多项式回归方法来说，若你的数据点不适合线性回归(就是直线大部分不穿过数据点)，那么使用该方法就比较合适。
并且多项式回归像线性回归一样，都是用变量 x 和 y 之间的关系来找到绘制数据点线最好的方法。

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一、多项式回归的原理

Python 中有一些方法可以找到数据点之间的关系并画出多项式回归线。
例如：研究乙醇转化率与温度的关系

# 建立一元一次方程y = ax + b
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# A1组温度与乙醇转换率的关系图-散点图
x=np.array([250,275,300,325,350]).reshape((-1, 1))
y=np.array([2.07,5.85,14.97,19.68,36.80])

plt.scatter(x, y) # 绘制散点图
plt.title('A1')
plt.show()

结果如下：

很明显如果用线性回归的，所有的数据点不能落在同一条直线上

用多项式回归方法来做：

# 多项式拟合
import numpy
import matplotlib.pyplot as plt

x=[250,275,300,325,350]
y=[2.07,5.85,14.97,19.68,36.80]

mymodel = numpy.poly1d(numpy.polyfit(x, y, 4)) # 四阶

myline = numpy.linspace(250, 350, 100) # 从位置250开始，到位置350结束

plt.scatter(x, y) # 散点图
plt.plot(myline, mymodel(myline), label='A1') # 多项式回归
plt.legend() # 设置图例
plt.show() # 显示
print('A1组中温度与乙醇转换率的关系中阶数的系数：', numpy.polyfit(x, y, 4))

结果如下：

A1组中温度与乙醇转换率的关系中阶数的系数： [ 2.83413333e-06 -3.36325333e-03  1.49119667e+00 -2.92472967e+02
  2.14005200e+04]
温度和乙醇转换率的关系为：
# y=2.83413333e-06 * x ^4 -3.36325333e-03 * x^3 + 1.49119667e+00  * x ^2 -2.92472967e+02 * x + 2.14005200e+04

上述代码详解：

1. 导入模块：`

import numpy
import matplotlib.pyplot as plt

2. 创建x和y轴的数组

x=[250,275,300,325,350]
y=[2.07,5.85,14.97,19.68,36.80]

3. numpy-poly1d方法来建立多项式模型

mymodel = numpy.poly1d(numpy.polyfit(x, y, 4)) # 四阶

4. 指定行的显示方法，从位置250开始，到位置350结束

myline = numpy.linspace(250, 350, 100) # 从位置250开始，到位置350结束

linspace(start, stop, num=50, endpoint=True, retstep=False, dtype=None）
作用：在指定的大间隔内（start，stop），返回固定间隔的数据。他们返回num个等间距的样本。
参数介绍：

start : scalar(标量) — 队列的开始值
stop：scalar — 队列的结束值 （当endpoint=False时，不包含该点。）
num：int，optional（可选填），生成序列的个数，默认为50，必须为整数。
endpoint：bool，True时stop是最后的样本。False时stop不被包含。默认为True。
retstep:bool，True时会改变计算的输出结果，输出为一个元组，元组的两个元素分别是需要生成的数列和数列的步长值。默认为False。

5. 绘制散点图

plt.scatter(x, y) # 散点图

6. 多项式回归线mymodel(行位置变量）

plt.plot(myline, mymodel(myline), label='A1') # 多项式回归

二、多项式回归方法

2.1polyfit函数

polyfit对应的是多项式系数

函数原型为：

numpy.polyfit(x,y,num)

可以对一组数据进行多项式拟合。

例子：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
 
# 构建噪声数据xu,yu
xu = np.random.rand(50) * 4 * np.pi - 2 * np.pi
def f(x):
    return np.sin(x) + 0.5 * x
yu = f(xu)
 
plt.figure(figsize=(8, 4))
# 用噪声数据xu,yu，得到拟合多项式系数，自由度为5
reg = np.polyfit(xu, yu, 5)
# 计算多项式的函数值。返回在x处多项式的值，p为多项式系数，元素按多项式降幂排序
ry = np.polyval(reg, xu)
# 原先函数绘制
plt.plot(xu, yu, 'bo', label='f(x)')#蓝色虚线
# 拟合绘制
plt.plot(xu, ry, 'r.', label='regression')#红色点状
plt.legend(loc=0)# 位置
plt.show()# 显示

结果如下：

2.2poly1d函数

poly1d对应的就是多项式表达式

numpy.poly1d()函数有以下几个参数。
分别为：

1. 参数为：系数

import numpy

a= numpy.array([2,1,1])
f = numpy.poly1d(a)
print('表达式为：\n', f)

2. 参数为：bool
   把数组的值作为根，然后反向推导多项式，例如：(x-2)(x-4)(x-5)
   

则有：(x - 2)(x - 4)(x - 5) = x^3 - 11x^2 + 38x -40

3. poly1d还可以计算多项式的值
   

2.3poly1d和polyfit同时使用

例子：

import numpy
import matplotlib.pyplot as plt

x=[250,275,300,325,350]
y=[2.07,5.85,14.97,19.68,36.80]

polyfit=numpy.polyfit(x, y, 4)# 多项式系数
poly1d = numpy.poly1d(polyfit)# 多项式表达式

myline = numpy.linspace(250, 350, 100) # 从位置250开始，到位置350结束

plt.scatter(x, y) # 散点图
plt.plot(myline, poly1d(myline), label='A1') # 多项式回归
plt.legend() # 设置图例
plt.show() # 显示
print('系数：\n', polyfit)
print('表达式：\n', poly1d)

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