【python】Reed-solomon codes的二维码应用（九）

二.译码原理

        之前编码过程可以得到以下矩阵：

        

            那么我们如何恢复数据呢？这就需要对RS码译码了。从编码矩阵中删去丢失数据块和丢失编码块对应行。假设D1、C2丢失，根据上图所示RS编码运算等式，我们得到如下B'以及等式：

            

         上图中我们丢失了D1、D4以及C2，对应的生成矩阵B变成了B'，那么我们如何由B’和错误的RS码得到原数据矩阵D呢？

         这就需要我们对B'求逆矩阵B'-1了，我们可以使用下面的方法求出D：

                

             最后就可以得到原数据D啦：

               

            我们已知错误的RS码，那么我们如何得到矩阵B呢？

             首先我们得计算出伴随式，这个方法需要我们通过Berlekamp-Massey等算法分析哪些字符是错误的，或者快速判断输入的信息是否完全损坏。

               我们之前总结了RS的编码原理，最后的RS码= Q（X）* G（X），即它能被G（X）整除，我们又已知生成多项式G（X） = (x-a^0)(x-a^1)(x-a^2)......(x-a^(m-1))，当x= a^0，a^1，a^2，a^2.......，a^(m-1)时G（x） = 0，所以RS码多项式也为零，这说明a^0，a^1，a^2，a^2.......，a^(m-1)都是RS码多项式的根。因此如果读取到的RS数据没有损坏，结果应当是0。如果不是，这些伴随式里就包含了完成纠错所必需的信息。计算伴随式的实现很简单,代码如下：

def rs_calc_syndromes(msg, nsym):
    '''给定原信息和纠错标记数，计算伴随式
    从数学角度看，这个过程就是一个傅里叶变换 (Chien搜索刚好相反).
    '''    
    synd = [0] * nsym
    for i in range(0, nsym):
        synd[i] = gf_poly_eval(msg, gf_pow(2,i))
    return [0] + synd