支持向量机（一）

1.1、线性分类的例子

如下图所示，现在有一个二维平面，平面上有两种不同的数据，分别用圈和叉表示。由于这些数据是线性可分的，所以可以用一条直线将这两类数据分开，这条直线就相当于一个超平面，超平面一边的数据点所对应的y全是-1 ，另一边所对应的y全是1。

这个超平面可以用分类函数表示，当f(x) 等于0的时候，x便是位于超平面上的点，而f(x)大于0的点对应 y=1 的数据点，f(x)小于0的点对应y=-1的点，如下图所示：

接下来的问题是，如何确定这个超平面呢？从直观上而言，这个超平面应该是最适合分开两类数据的直线。而判定“最适合”的标准就是这条直线对于直线两边的数据的最小间隔最大化。这里的最小间隔指的是对于固定的超平面而言，数据距离超平面的最小间隔；最大化指的是通过比较不同超平面的最小间隔，选取最小间隔最大的那个超平面，也就是最适合的超平面。

1.2、函数间隔与几何间隔

在超平面w*x+b=0确定的情况下，|w*x+b|能够表示点x到距离超平面的远近，而通过观察w*x+b的符号与类标记y的符号是否一致可判断分类是否正确，所以，可以用(y*(w*x+b))的正负性来判定或表示分类的正确性。于此，我们便引出了函数间隔的概念。

定义函数间隔（用表示）为：

而超平面(w，b)关于T中所有样本点(xi，yi)的函数间隔最小值（其中，x是特征，y是结果标签，i表示第i个样本），便为超平面(w, b)关于训练数据集T的函数间隔：

= mini (i=1，...n)

但这样定义的函数间隔有问题，即如果成比例的改变w和b（如将它们改成2w和2b），则函数间隔的值f(x)却变成了原来的2倍（虽然此时超平面没有改变），即对于任意超平面，都可以通过成比例的增大w和b来使其对应的达到无穷大，所以只有函数间隔还远远不够。

事实上，我们可以对法向量w加些约束条件，从而引出真正定义点到超平面的距离--几何间隔的概念。

假定对于一个点 x ，令其垂直投影到超平面上的对应点为 x0 ，w 是垂直于超平面的一个向量，为样本x到超平面的距离，如下图所示：

根据平面几何知识，有

其中||w||为w的二阶范数（范数是一个类似于模的表示长度的概念），是单位向量（一个向量除以它的模称之为单位向量）。

又由于 x0是超平面上的点，代入超平面的方程，可得，即。

随即让此式的两边同时乘以，再根据和，即可算出γ：

为了得到的绝对值，令乘上对应的类别 y，即可得出几何间隔（用表示）的定义：

从上述函数间隔和几何间隔的定义可以看出：几何间隔就是函数间隔除以||w||，而且函数间隔y*(wx+b) = y*f(x)实际上就是|f(x)|，只是人为定义的一个间隔度量，而几何间隔|f(x)|/||w||才是直观上的点到超平面的距离。

1.3、最大间隔分类器

对一个数据点进行分类，当超平面离数据点的“间隔”越大，分类的确信度也越大。所以，为了使得分类的确信度尽量高，需要让所选择的超平面能够最大化这个“间隔”值。这个间隔就是下图中的Gap的一半。

通过由前面的分析可知：函数间隔不适合用来最大化间隔值，因为在超平面固定以后，可以等比例地缩放w的长度和b的值，这样可以使得的值任意大，亦即函数间隔可以在超平面保持不变的情况下被取得任意大。但几何间隔因为除上了，使得在缩放w和b的时候几何间隔的值是不会改变的，它只随着超平面的变动而变动，因此，这是更加合适的一个间隔。换言之，这里要找的最大间隔分类超平面中的“间隔”指的是几何间隔。