大话数据结构学习笔记之(2) - 算法

大话数据结构学习笔记之(2) - 算法

定义

算法(Algorithm)： 解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作

算法的特性

• 输入输出：算法具有零个或多个输入，至少有一个或多个输出
• 有穷性： 指算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每一个步骤在可接受的时间内完成。
• 确定性： 算法的每一步骤都具有确定的含义，不会出现二义性
• 可行性： 算法的每一步都必须是可行的，即每一步都能够通过执行有限次数完成

算法设计的要求

• 正确性： 算法的正确性是指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、能正确反映问题的需求、能够得到问题的正确答案。
• 可读性： 算法设计的另一目的是为了便于阅读、理解和交流
• 健壮性： 当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或莫名其妙的结果
• 时间效率高和存储量低：即执行时间和存储空间

算法效率的度量方法

事前分析估算方法

在计算机程序编制前，依据统计方法对算法进行估算。一个程序的运行时间，依赖于算法的好坏和问题的输入规模即输入量的多少

• 求和算法1

  int i, sum = 0, n = 100;  // 执行 1 次
  for(i = 1; i <= n; i++)   // 执行了 n+1 次
  sum = sum + i;        // 执行 n 次
  printf("%d", sum);        // 执行 1 次

• 求和算法2

  int sum = 0, n = 100;   // 执行一次
  sum = (1 + n) * n / 2;  // 执行一次
  printf("%d", sum);      // 执行一次

对上述连个算法，忽略头尾循环判断的开销，就是n次与1次的差距， 算法好坏显而易见

算法时间复杂度

在进行算法分析时，语句总的执行次数 T(n) 是关于问题规模n的函数， 进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。 算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作； T（n) = O(f(n))。 它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数

推导大O阶方法

• 用常数1取代运行时间中的所有加法常数
• 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
• 如果最高阶项存在且不是1， 则去除与这个项相乘的常数

得到的结果就是大O阶

常数阶

求和算法2中，运行次数函数为O(3)，根据推导大O阶方法，得到时间复杂度为O(1)

线性阶

求和算法1中，算法的时间复杂度为O(n)

对数阶

int count = 1;
while(count < n)
    count = count * 2;

由

$$2^x = n$$ ， 得到 $$x = log_{2}n$$ ， 故时间复杂度为 $$O(logn)$$

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平方阶

int i, j;
for(i = 0; i < m; i++)
    for(j = 0; j < n; j++)
    {
        /* 时间复杂度为 O(1) 的程序步骤序列 */
    }

循环嵌套， 故时间复杂度为

$$O(m * n)$$ ， 若 m=n, 则时间复杂度为 $$O(n^2)$$ . 此时总得执行次数为

$$n + (n-1) + (n-2) + ... + 1 = \frac{n * (n+1)} {2} = \frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}$$ ， 故为 $$O(n^2)$$

常见的时间复杂度

从

$$O(n^3)$$ 开始， 过大的 n都会使的结果变得不显示

最坏情况与平均情况

最坏情况运行时间是一种保证，那就是运行时间将不会再坏了。一般提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。平均运行时间是所有情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间

算法空间复杂度

算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法空间复杂度的计算公式记作:

$$S(n) = O(f(n))$$ ， 其中 n为问题的规模， f(n)为语句关于 n所占存储空间的函数

结语

算法的基本概念，比如其定义、特性、设计要求、度量方法等。还有推导大O阶，以及常见的时间复杂度以及关于算法最坏情况的概念